三角函数值域(最值)问题求解策略

“三角函数”是高中数学必修内容,其值域和最值问题是高考考查的重点. 随着新高考的推进,这类问题的难度、深度和交汇度也在不断增大.下面结合部分典型试题,解读相关求解策略,供参考.

高考全国卷中三角函数解答题的命题趋势分析

三角函数是高中重要的函数模型之一,也是每年高考必考的内容,主要考查利用主要三角公式进行恒等变形,考查三角函数的单调性、对称性、周期性等性质。虽然近年来高考全国卷中三角函数很少考解答题,但2023年教育部教育考试院给四省联考的试题出现三角函数的解答题,因此,同学们在备考这部分内容时要引起足够重视。本文结合例题梳理三角函数解答题的常考问题,目的是帮助同学们了解高考命题趋势,把握备考方向,从而提高备考效率。

三角函数最值问题的破解策略

从定义法、换元法、均值不等式和导数等视角来探讨三角函数最值问题的破解策略.

2024年全国新高考适应性测试三角函数试题分析及备考建议

试题研究的目的是了解试题设计的内容,分析试题命制的特点,从中获取教育教学的启示。课题组从考查目标、命制过程等角度对九省联考试题中三角函数试题进行分析,探究新高考背景下试题的命制特点,提出回归课本抓基础、题组训练升效率和变式训练提素养等三角函数复习建议。

基于三角函数的核信号类高斯成形算法研究

高斯信号具有高信噪比、抗弹道亏损和易于提取幅度等优点。因此,在核辐射测量系统中,核信号的高斯成形被广泛应用于探测器输出信号的滤波和幅度提取。然而,目前实时高斯成形核脉冲信号仍然具有挑战性。常见的Sallen-Key滤波器和CR-(RC)^(m)滤波器输出的类高斯信号还存在对称性差和下冲等问题。本文提出了一种基于三角函数的双指数信号类高斯脉冲成形算法。该算法以三角函数为基础,通过平移和反转可得到左右对称的类高斯信号(1-cosx),采用Z变换方法推导了该算法的数字递推式。仿真和实测结果表明:在相同达峰时间条件下,相较于正弦函数(sin)脉冲成形,类高斯脉冲成形具有更好的滤波性能,信噪比(SNR)提升了8.95%。同时,类高斯脉冲成形所得能谱的能量分辨率较sin脉冲成形更优。与梯形脉冲成形相比,类高斯脉冲成形具有更好的堆积脉冲分离能力,展现出良好的应用前景。

深度学习视域下高中数学教学设计研究——以人教A版“三角函数的概念”为例

基于深度学习理论的教学设计对于帮助学生建构结构化的知识体系,培养学生的高阶思维、发展学生的数学核心素养具有重要的作用.在深度学习视域下,在读懂教材、学生、课堂的基础上,构建教学结构化框架,确立高阶思维教学目标,组织教学环节,落实核心素养,以“三角函数的概念”为例,对基于深度学习的高中数学进行教学设计研究.

初高中数学概念衔接教学的着力点——以三角函数概念教学为例

每个数学概念都蕴含着丰富的背景与来源、经验与意义、方法与思想,从初高中衔接教学的着力点来看,就是要揭示概念发生发展的过程,挖掘其内涵与外延。在衔接教学中,既要考虑学段数学课程目标的一致性,也要考虑内容的差异性和发展性。以三角函数概念教学为例,依据课标、教材和学段衔接要求,循序渐进,注重知识形成过程和本质的探究,促进学生思维发展和概念理解。

UbD理论视角下的高中数学逆向单元教学设计——以“三角函数”为例

基于高中三角函数内容展开UbD教学设计,为初试逆向教学设计的数学教育者提供参考样例和借鉴,从中获得启示:植入崭新的教学设计视角,促进“教、学、评”一体化发展,注重教学实践设计的完整与连续,贯彻落实学科核心素养.

一道三角函数竞赛题的创新解法

文[1]中第二章的例8是2014年学数学奥林匹克邀请赛试题,其解答较繁琐,笔者经过研究,给出一种简洁明快的创新解法,现与各位同仁分享.

利用三角函数的性质优化导数与三角综合问题

以三角函数为载体的导数问题的考查是高考命题的一个新切入点,由于含三角函数导数研究十分复杂,从而造成学生思维上的困难.但也正因为三角函数的融入带来了方法的多元化.尤其是借助三角函数周期、单调、有界等性质优化问题,可以将复杂问题带来简化.根据前面学生导数分层作业,笔者有幸开设一节导数与三角综合校公开课,思考以上课题,与读者共享.

基于SOLO分类理论的高考三角函数试题评析——以2023年4套高考数学试卷为例

利用SOLO分类理论对全国甲卷理科卷、全国乙卷理科卷、全国Ⅰ卷和全国Ⅱ卷4套试卷的三角函数试题进行统计分析,发现4套试卷对于三角函数的考查内容全面,题型结构稳定。一级知识的考查频数从高到低排序依次为:三角函数的概念与性质、解三角形、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换;二级知识中考查最多的是余弦定理。试题整体处于中阶思维水平,思维能力划分清晰,有着明显的SOLO梯度。具体来看,多点结构水平试题最多,关联结构水平试题分值最高,整体思维考查处于多点结构水平和抽象拓展结构水平之间。这提示教师要夯实三角函数基础知识,加强知识的变式训练;构建知识网络,重视主题—单元整体教学;设计多思维水平试题,实现因材施教。

指向深度学习的高中数学新教材使用研究——以湘教版必修第一册“三角函数的定义”为例

指向深度学习的数学教材理解及使用对学生精准掌握数学知识本质、感悟升华数学思想方法及有效培育数学核心素养等方面具有重要意义.研究首先解析了深度学习的内涵及特征等基本理念;其次提出了指向深度学习的高中数学教材使用基本要求;最后提出了指向深度学习的高中数学教材使用及教学优化路径.

借助单位圆理解三角函数,发展数学核心素养

单位圆在三角函数内容中占有非常重要的地位.从历史发展角度来看,由关注具体角的弦值转向任意角的三角函数,三角函数与圆的弧长、弦长的关系逐渐清晰化,三角学的发展也经历了算术、代数、几何、解析四个研究阶段;三角函数是周期运动代数化的代表,在微积分、几何等领域具有重要作用.三角函数的产生与发展始终与圆有关,三角函数的基本性质,是圆的对称性的解析表现,教学中要充分发挥单位圆的作用.借助单位圆,从模型角度理解三角函数概念的数学化过程,从几何直观上理解三角函数的性质和诱导公式,从整体上理解三角恒等变换与三角函数的关系.

基于生活情境 研讨问题转化 探索知识框图——以苏科版“锐角三角函数”章首课为例

从学生生活场景出发,经历分析和建模,转化为数学问题情境;明确问题导向,发现变量间的对应关系,得出概念,类比已有基础进行前后联系,清楚研究内容和研究框架;对比研究直角三角形中的锐角问题,逐步明确研究对象间的数量关系,通过延伸和拓展,融入初高中衔接,渗透学科德育.

中美高中数学教材中三角函数内容的比较研究

本文选取我国2019年出版的人教A版与美国Glencoe版的高中数学教材为研究对象,以“三角函数”内容为切入点,对教材的教学内容、教学方法等方面进行对比分析,从中得到了一些关于数学教学的启示.

剖析本质,思绪齐飞——高中数学三角函数解题技巧

高考对三角函数的考查体现了基础性、综合性和灵活性,三角函数内容的相关试题所占分值在15~35分之间,能够多角度、多层次考查学生的数学基础知识和核心素养.教师应传授给学生一些常见的解决三角函数问题和解三角形的技巧,从几何直观和代数运算两方面加深学生对此部分内容的理解,渗透转化化归、整体换元思想.

基于认知学习理论的高中数学教学模式探究——以“三角函数”为例

认知学习理论认为,学习的本质在于获取符号性的表征或结构,并应用其解决问题.鉴于高中数学概念的高度抽象性,为了让学生更好地掌握数学概念,教师应遵循学生认知发展规律,以学生现有知识为基础,以启发学生思维为核心,引导学生从已知探索未知,进而构建个人认知体系.文章以高中数学三角函数模块的教学为例,探讨认知学习理论视角下高中数学教学模式的创新,倡导在教学实践中融入认知学习理论,并加以推广,以期得到高效的教学方法.

初中数学“链+”课堂教学资源的建设与思考——以人教版“锐角三角函数”(第1课时)为例

教学资源是课堂教学中师生活动的核心抓手.教师要从教材资源的分析与应用出发设计教学,从有助于学生认识数学、发展素养的角度丰富教学资源.初中数学“链+”课堂教学资源建设的路径目标主要有:深入理解数学,为整体建构充实教学资源;全面解读教材,为全面认知完善教学资源;合理优化进程,为素养提升增添教学资源.

动中有静,静中有动——三角函数中参数ω的突破之道

在高中数学中三角函数有着很重要的地位,它是联系几何与代数的桥梁,不仅仅自身有着独特的性质——周期性,同时也与其他知识有着紧密联系,有很多问题都可以借助三角函数得以解决.例如,通过选取角为变量,利用三角函数解决最值问题.近些年的高考中对于三角函数与解三角形的考查严格按照《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中的要求,注重基础知识的巩固与理解,重点提升学生的数学核心素养.

基于三角函数的加权平均全景环视图像融合方法

全景环视(AVM)系统是减小汽车盲区的有效工具,针对已有AVM图像中存在的拼接缝以及拼接误差等问题,提出了两种依据像素坐标的三角函数值计算权值的像素级图像融合方法。对于短距AVM图像的融合,提出了一种以融合区域像素坐标的正弦/余弦值为融合权重的图像融合方法,命名为“时钟扫描图像融合法”;对于长距AVM图像的融合,提出了一种依据正切函数曲线拟合矩形融合区域,并利用正切函数系数构造权值区间确定各像素权重系数的方法,以同时顾及3条融合边界,称之为“tan—加权图像融合法”。研究结果表明,两种图像融合方法在消除相邻图像之间的拼接缝、提升融合图像的清晰度等方面具有良好效果,可实现融合区域的平滑过渡。