量子外代数的Z2-Galois覆盖的Hochschild上同调环

设Λq是特征不为2的域k上的二元量子外代数的Z2-Galois覆盖.Λq的Hochschlid上同调环的乘法结构被用平行路的语言加以刻画,从而确定其上同调环.

轨道点的上同调环

研究了整数分次等变上同调和RO(G)分次等变上同调,结合同伦理论的等变奇异上同调,进一步得到在Gal(C/R)作用下轨道点的上同调环,轨道点是群作用等变空间一个基本模型,通过研究轨道点的等变上同调环,可推广到一般群作用空间的等变上同调理论。

一个Cluster-Tilted代数的Hochschild上同调环

基于Furuya构造的一个cluster-tilted代数的极小投射双模分解,定义了该投射分解的所谓"余乘"结构,从而证明了该代数的Hochschild上同调环的cup积本质上是平行路的毗连并由此得到了该代数的Hochschild上同调环的一个由生成元与关系给出的实现.

旗流形的上同调环的自同态

本文应用李群理论，对紧单李群Ｇ，给出了旗流形 Ｇ／Ｔ的上同调环自同态的完全分类，并对典型群计算了相应自同态的Ｌｅｆｓｃｈｅｔｚ数．

Kac-Moody群、其旗流形及分类空间的上同调环的计算

本文介绍Kac-Moody群、其旗流形及分类空间的上同调计算的发展历史与现状,并给出一些值得进一步关注和研究的问题.

Koszul代数的Hochschild上同调环

基于Buchweitz等人对Koszul代数的Hochschild上同调环的乘法结构的细致分析,给出了Koszul代数的Hochschild上同调环的乘法本质上是平行路的毗连的一个充要条件,并由此重新证明了二次三角string代数的Hochschild上同调环的乘法是平凡的,从而改进了Bustamante的证明.

T^6/Z_4和T^6/(Z_2)~2的Chen-Ruan上同调环

最近,Chen和Ruan对orbifold定义了一种非常有意义的上同调理论,称为Chen-Ruan上同调。然后,Chen和Hu对阿贝尔orbifold给出了一个deRham模型来计算其上的Chen-Ruan上同调环。在Chen和Hu的构造中,一个重要的工具是twist factor,通过它,Chen-Ruan上同调环可以不用复杂的全纯orbifold曲线就可以清晰的表示出来。本文作者的主要工作是使用Chen和Hu的方法来计算T^6/Z_4和T^6/(Z_2)~2的Chen-Ruan上同调环。

Quasitoric-流形的最高维上同调的生成元的组合描述及其应用

对任意quasitoric-流形,π:M^(2n)→P^(n),其上同调环表示为H^(*)(M^(2n),Z)=Z[F_(1),F_(2),...,F_(m)]/(T_(pn)+J_(pn)),其中F(P)={F_(1),F_(2),…,Fm}是P^(n)中所有余一维面的集合.任取P^(n)的顶点v=F_(i1)∩F_(i2)∩…∩Fin,我们证明了<[F_(i1)F_(i2)…F_(in)],[M^(2n)]>=±1,即[F_(i1)F_(i2)…Fin]是H^(2n)(M^(2n),Z)的生成元.我们进一步利用这一结论讨论quasitoric-流形的刚性问题,并证明如下结论:若f^(*):H^(*)(M_(1)^(2n),Z)→H^(*)(M_(2)^(2n),Z)是一个环同构,则存在一一映射f:Fix(M_(1)^(2n))→Fix(M_(2)^(2n)),这里Fix(M^(2n))是T^(n)-作用在M^(2n)上的不动点.

具有不动点集*∪F^(4l+2)的可换对合

设(M',Φ)是r维光滑闭流形M'上的(Z2)k作用,其不动点集为*∪F4l+2,且F4l+2～CP(2l+1).本文研究流形M'的维数和(M',Φ)的等价协边类,得到结论: (1)r=(4l+4)·2t-1,t为整数,且1≤t≤k; (2)[M,Φ]2=[σГtk(CP(2l+2),τ0)]2.

Leray-Hirsch性质和Lefschetz数的计算

利用Leray Hirsch性质 ,对于紧单李群G的旗流形 ,讨论了其上映射的Lefshetz数的计算 ,并给出了一些几何和代数中的应用。

以{p}∪F^(4m+2)为不动点集的光滑对合

设 (Mn,T)是n维光滑闭流形Mn 上以 { p} ∪F4m +2 为不动点集的对合 ,其中F4m +2 ～2CP( 2m+1) ,确定了流形Mn 的维数并给出 (Mn,T)的等价协边类 ,即 [Mn,T]2 =[CP( 2m +2 ) ,τ0 ]2 ,且n=4m +4.

机器人运动计划复杂性的一些计算

根据Farber研究的结果,进一步讨论机器人运动计划复杂性的计算.利用零除子卡积长度估计运动计划的拓扑复杂性TC(X)的下界,而利用维数、r-连通性等估计TC(X)的上界,从而对两种构型空间的运动计划给出拓扑复杂性的准确值.

Happel问题和Snashall-Solberg猜想

众所周知,有限维代数的Hochschild(上)同调群与它的整体维数以及支撑簇(support variety)理论密切相关.本文考虑了几类Koszul代数的Hochschild上同调,为Happel问题和Snashall-Solberg猜想提供了更多的反例,而且覆盖了很多已知的反例.特别地,我们证明了二元量子外代数A_q的一类Z_n×Z_n-Galois覆盖代数为Happel问题提供了反例,同时,代数A_q的一类Z_n和Z_n×Z_m-Galois覆盖代数的单点余扩张提供了Snashall-Solberg猜想的反例.

球几何三维流形到透镜空间的映射度

本文讨论球几何三维流形M=S^3／G，即S^3在一群G自由作用下的轨道空间．所谓球几何是指S^3上被赋予的标准的度量，其等距变换群是SO（4），而上述G就是SO（4）的离散子群．主要结果是利用Z在ZG模上的投射预解以及群G的上同调和流形K（G，1）的上同调的关系，计算出流形M的系数为Zm（m不必为素数）的上同调环，以及Bockstein同态H^n（M，Zm）→H^n＋1（M，Zm）．利用上述结果进而计算出任一球几何三维流形到三维透镜空间的映射的映射度，最后可以判断一类映射是否具有值为1的映射度．

K理论在实现问题中的应用

我们研究Steenrod代数上的多项式代数能否实现为拓扑空间的上同调环的问题。根据Adams和Hubbuck的思想,我们应用K-理论及Adams运算来研究上述问题,并得到本文的主要结果——定理2.4.它推广了Hubbuck和Wilkerson的结果。