笛卡尔型集的上(下)极限的计算及应用

集列的上(下)极限的计算是实变函数教学中的一个重点和难点,但其计算公式对复杂的集列并不适用。本文主要证明了当集列{Bn}n=1^∞和{Cn}n=1^∞均单调时,集列{Bn×Cn}]n=1^∞的上(下)极限集分别等于{Bn}n=1^∞和{Cn}n=1^∞的上(下)极限集的笛卡尔集。当笛卡尔型集列的每个坐标集列均单调时,我们还证明了上述等式关系可以推广到有限个集合中去,但不能推广到可数个集合中去。通过例子,我们还展示了上述等式关系的运用。