Fibonacci映射的不变闭曲线的存在性

本文利用Moser扭转定理证明Fibonacci映射在椭圆型二周期点附近存在F^2-不变闭曲线。

离散模型两个不变闭曲线的分支存在性研究

主要研究的是二维离散模型,基于余维1的N-S分支理论,探讨了离散模型产生两个不变闭曲线的余维2的分支问题.给出了定理及其证明的详细过程,主要用复正规形的方法简化方程,消掉全部的二次,四次项和部分一次,三次项,利用极坐标使方程化为最简形式.分析产生两个不变闭曲线的条件,通过计算相关系数k_1(α)和k_2(α),进而计算出关键系数L_2(0),给出了不变闭曲线的存在性和稳定性.当L_2(0)>0(L_2(0)<0)时,参数满足一定条件会出现两个不变闭曲线,此时里面的不变闭曲线稳定(不稳定),外边的不稳定(稳定).在分析过程中,不仅给出相关系数k_1(0),k_2(0)的计算公式,而且给出了特定情形下k_2(0)的简化计算公式,使得运用更加方便.还通过举例展示了方法的应用过程,也通过数值模拟显示了方法的正确性.

离散模型三个不变闭曲线的分支存在性研究

主要在离散模型余维2的分支理论的基础上，研究了离散模型三个不变闭曲线的存在性．在模型消掉全部的二次、四次项和部分三次、五次项的基础上，利用余维2的分支理论和复正规形方法进一步化简方程，消掉全部六次项和部分七次项，再化成极坐标形式，得到了三个不变闭曲线的存在性和稳定性．当相关系数L3（0）〉0（L3（0）〈0）时，满足一定条件会出现三个不变闭曲线，其中里边的不变闭曲线不稳定（稳定），中间的不变闭曲线稳定（不稳定），外边的不变闭曲线不稳定（稳定）．最后通过举例展示了方法的应用过程，也通过数值模拟显示了方法和理论的正确性．同时，给出的n个不变闭曲线的存在性讨论、计算公式等在一定程度上推广和丰富了离散模型分支理论的研究．

二维不连续映射中心分叉的动力学分析

研究了二维分段不连续线性映射中心分叉的一些性质.类比光滑映射Neimark-Sacker分叉分析了中心分叉.首先,当定义分段线性映射的两个线性矩阵中有一个的特征值为共轭复根并且通过单位圆时,会发生中心分叉;其次,当定义分段线性映射的两个线性矩阵的特征值均为共轭复根并且通过单位圆时,会发生中心分叉.证明了发生中心分叉时在相空间中存在两个与不动点有关的不变区域,并且给出了寻找不变区域并确定其位置和大小的计算方法.讨论了相空间中在不变区域外的动力学行为,最后说明了系统在中心分叉后在不动点附近可能存在不变闭曲线.

辛算法应用于Duffing方程的保结构性

讨论了不受外力的Duffing方程在辛算法和非辛算法作用下，相轨线被保持和破坏的性质。证明了当时间步长充分小时，辛算法可以保持原系统的大部分不变闭曲线，而非辛算法却做不到这一点。

辛欧拉算法作用于单摆方程的保结构性分析

讨论了单摆方程及其在辛算法和非辛算法作用下平衡点及其相轨线保持和破坏的性质。验证了辛欧拉算法作用于单摆方程能够严格保持原系统的平衡点类型,而非辛的显欧拉算法做不到。通过向后误差分析,得出其一阶截断和二阶截断方程与原系统有相同的平衡点。