不定方程∑_(i=1)^(m)x_(i)^(2)=∑_(j=1)^(n)y_(j)^(2)(m>n,m,n∈N_(+))的整数解

给出不定方程∑_(i=1)^(m)x_(i)^(2)=∑_(j=1)^(n)y_(j)^(2)(m>n,m,n∈N_(+))的一种参数求解方法,以及该不定方程的一种拆分求解方法.

赏析高校强基计划中的不定方程试题

不定方程试题题型丰富,能有效考查学生的思维能力和创新精神,在高校强基计划测试卷中不定方程问题倍受关注.本文以各大高校强基计划试题为例,介绍不定方程的6种解题策略:因式分解法、不等式估算法、判别式法、隔板法、分类讨论法、同余法.

不定方程13x^(2)-11y^(2)=2和48y^(2)-13z^(2)=35的公解

Gel’fond-Baker方法是20世纪超越数论的重要成就之一,该方法在不定方程求解方面具有广泛应用。运用Gel’fond-Baker方法,证明了不定方程13x 2-11y^(2)=2和48y^(2)-13z^(2)=35仅有公共解(x,y,z)=(±1,±1,±1),(±551,±599,±1151)。这改进了之前的结果|x|<0.92×2418393,|y|<2418393,|z|<1.92×2418393。

关于不定方程x^(3)-1=114y^(2)

不定方程是数论中不可或缺的一个分支,它有着悠久的历史与丰富的内容,其理论和方法在各学科和实际生活中都有广泛的应用。运用同余式、递归序列、平方剩余以及Pell方程的解的性质等初等方法对不定方程x^(2)-1=114y^(2)的整数解进行了讨论。首先利用因式分解将原不定方程分解为8种情形,其次运用转化、取模等技巧对8种情形分别分析,最终得出不定方程x^(2)-1=114y^(2)仅有整数解(x,y)=(1,0)。

强基计划数学备考系列讲座(25)——初等数论中不定方程探究求解路径

1知识要点1.1要点梳理1.2要点解析1)ax+by=c (a,b,c∈Z{0})有解的充要条件是(a,b)|c,化为同余式ax≡c(mod b)求解,结合原方程中变元取值范围得解集.2)x~2+y~2=z~2(x,y,z∈N*)称为勾股方程,求解目标是确定所有(|x|,|y|,|z|),这完全等同于求出所有正整数解(x,y,z).

与Euler函数有关的一个五元不定方程的正整数解

对于任意正整数n,数论函数φ(n)为Euler函数.该文讨论了与Euler函数有关的一个五元不定方程φ(x_(1)x_(2)x_(3)x_(4)x 5)=3φ(x_(1))φ(x_(2))φ(x_(3))+4φ(x_(4))φ(x 5)的正整数解,利用Euler函数φ(n)的相关性质以及初等方法,得到了这一方程共有501组正整数解,并给出了满足x_(1)≤x_(2)≤x_(3)与x_(4)≤x 5的61组正整数解.

关于不定方程x^(d(n))+y^(ϕ(n))=z^(σ(n))

设n是正整数,证明了不定方程x^(d(n))+y^(ϕ(n))=z^(σ(n))在一定条件下无正整数解,这里d(n),ϕ(n)和σ(n)分别表示n的约数函数、欧拉函数及约数和函数。同时给出了n=3时,该方程的全部正整数解。

不定方程 x 2 −kxy+k y 2 +dy=0的正整数解

本文研究了在d∈{3,5,7,11,13,17,19},k∈N∗时,不定方程x2−kxy+ky2+dy=0有无穷多个正整数解(x, y)当且仅当d = 3,k = 5, 6, 7;d = 5,k = 5, 7, 9;d = 7,k = 5, 8, 11;d = 11,k = 5, 6, 9, 10, 15;d = 13,k = 5, 11, 17;d = 17,k = 5, 7, 11, 13, 21;d = 19,k = 5, 11, 14, 23。在d为奇素数时,给出了不定方程x2−kxy+ky2+dy=0正整数解的一些必要条件。

关于不定方程5x(x 1)(x 2)(x 3) = 42y(y 1)(y 2)(y 3)

本文运用同余式、递推序列和Pell方程等初等方法,证明了不定方程5x(x 1)(x 2)(x 3) = 42y(y 1)(y 2)(y 3)仅有唯一正整数解(x, y) = (6, 3),并找出了该方程的所有整数解。

关于不定方程x^(3)-1=151y^(2)的整数解

利用同余、递归数列、因式分解等相关性质,证明了丢番图方程x^(3)-1=151y^(2)有且仅有一个整数解(x,y)=(1,0)。

关于不定方程6x(x+1)(x+2)(x+3)=17y(y+1)(y+2)(y+3)的正整数解研究

本文主要通过运用Pell方程,递归序列,平方剩余等方法,证明了不定方程6x(x+1)(x+2)(x+3)=17y(y+1)(y+2)(y+3) 无正整数解。

建立不定方程模型巧解组合计数问题

很多有难度的计数问题都有一定的高等数学背景,如允许重复的组合与多重集的全排列等.尤其是针对不定方程的整数解问题,我们可以利用允许重复组合数相关知识进行求解.下面谈谈如何通过建立不定方程模型来巧解组合计数问题.

一类基于完全图Kn与不定方程的竞赛组合问题的方法研究

有一类常见组合类题目常常困扰着我们,这类题目往往限定在n个元素中,先给出总体这n个元素某种性质的上界估计,再给出其中一部分元素的某个下限估计或者某个特定性质,利用这种“两边夹”的性质来确定出总体的某种性质或者是给予总体的某种估计.那么这类题型常见的有两种分析思路.第一种是利用不等式结合题目给出的“两边夹”性质来框定总体n的范围;另一种方法则是:从两种不同的角度来描绘题目中所给出的性质,由于描述的是同种的性质,就可以联立解方程.然而这种规划问题往往都会限制情景为人数、几何体等非负整数,因此解方程的工作就变为利用数论方法求解不定方程.

指数不定方程2^(x)+(pq)^(y)=z^(2)的非负整数解

设p,q为奇素数,p<q.利用同余式和平方剩余的方法,对不定方程2^(x)+(pq)^(y)=z^(2)的非负整数解进行了研究.证明得出:若(p,q)≡(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(3,7),(5,1),(5,3),(5,7),(7,3),(7,5)(mod8),则不定方程2^(x)+(pq)^(y)=z^(2)除p=3,q=5时仅有非负整数解(x,y,z)=(3,0,3),(0,1,4),(6,2,17)以及q=p+2,p≠3时仅有非负整数解(x,y,z)=(3,0,3),(0,1,p+1)外,都仅有非负整数解(x,y,z)=(3,0,3).

不定方程 x^(2)=2^(2b+2)a^(2t)-2^(b+2)a^(t+r)+1 的正整数解

丢番图方程的马少麟猜想与乘子为-1的阿贝尔差集有关。该文运用二次和四次丢番图方程的性质并结合Stormer定理,证明了:若a为正偶数,b,t,r为正整数,t≥r,则不定方程x^(2)=2^(2b+2)a^(2t)-2^(b+2)a^(t+r)+1 +1的正整数解由t=r=1以及x+a√2^(b+2)(2^(b)-1)=(2^(b+1)-1+√2^(b+2)(2^(b)-1))n给出,其中n是正偶数。

包含Euler函数的一个三元变系数不定方程的正整数解

针对包含Euler函数φ(n)的一个三元变系数不定方程φ(xyz)=φ(x)+3φ(y)+4φ(z)的可解性问题,利用数论相关内容以及初等方法,通过分析筛选获得该不定方程的所有32组正整数解。

不定方程Kx(x+1)=Dy(y+1)(y+2)(y+3),(x,y∈Z)的整数解

给出不定方程Kx(x+1)=Dy(y+1)(y+2)(y+3),(x,y∈Z)的一种参数求解方法,分别对K=4D和K≠4D两种情况进行讨论,得到相应不定方程的参数解求解公式,其中K,D是互素的整数且KD>0。

包含Euler函数的一个二元变系数不定方程的可解性

Euler函数φ(n)是数论中的一个极为重要的函数,其中n是一正整数.讨论了包含Euler函数φ(n)的二元变系数不定方程φ(xy)=5φ(x)+11φ(y)的可解性,利用初等方法给出了其所有正整数解.

一类不定方程整数解问题的求解策略

1.基本问题的求解模型问题n元一次不定方程x_(1)+x_(2)+…+x_(n)=m(m≥n≥2)的正整数解(x_(1),x_(2),…,x_(n))的组数是多少?该问题可以用“隔板法”来解决,即构造模型:将m个相同的小球排成一排,产生m-1个空隙,用n-1个隔板插在某n-1个空隙中,将这m个小球分成n份,第i份的个数即x i的值,这样就得到一组解,而插隔板的方法数为C^( n-1)_( m-1),因此该方程的正整数解的组数是C^(n-1)_( m-1).

不定方程x^(3)-y^(3)=DKz^(2)(D,K∈Z)的整数解

针对D的3种不同类型,给出不定方程x^(3)-y^(3)=DKz^(2)(D,K∈Z)整数解的参数表达式.