巧构直线方程 让函数不等式放缩有“度”

函数不等式的放缩问题不仅是学生学习的难点,更是近年来各地高考命题的一个热点.其思维的独特性、解题手段的灵活性、知识内容的综合性等特点,在对形成学生理性思维、科学精神和促进学生个人智力发展的过程中发挥着重要作用,但也使不少学生望而却步.笔者选取构造直线方程的角度谈谈如何把握函数不等式放缩的“度”.

等差、等比思想在数列不等式放缩中的应用——以一道联赛预赛试题为例

数列不等式是高中数学的重要内容,此类问题灵活多变,综合性较强,而等差、等比数列作为数列中两个最基本的概念,其思想方法在解决数列不等式相关问题中起着重要作用.本文以2022年浙江省数学竞赛试题为例,试图从等差、等比这两个角度探寻数列不等式放缩的思路.

数列不等式放缩法—–由一个自招题谈数列放缩的解题策略

2017年是全国新高考改革的元年，而数列不等式放缩是今年浙江新高考的压轴题和名校自招必考题，所以研究数列不等式放缩问题显得很有必要．目前比较有效的数列不等式有很多，例如：分析通项法、裂项分析法、等比数列法、切线放缩法、二项式放缩法等．其中迭代函数不动点放缩是处理{an}与Sn范围问题非常常用的方法．本文就以今年一道自主招生的数列不等式放缩为例，来详细讲解此方法的奥妙与技巧．

数列求和与不等式放缩问题的解题策略

数列与不等式结合在近几年的高考题及模拟题中都有所体现,在知识点上考查了数列求和、通项放缩等知识与技能,在核心素养上考查了逻辑推理以及数学运算.当我们遇见数列不能直接求和问题时,一般需要对数列的通项进行放缩,而这方面一直是学生的解题弱点.本文借助几道高考真题和模拟考题,分别从四种题型谈数列求和与不等式放缩问题的解题策略.

泰勒展开式与超越不等式在高考中的应用

泰勒公式是逼近、近似函数的重要工具,并由此引出高考数学中不等式及其他的众多题型.了解泰勒展开式对学生理解命题背景、快速解题有着重要的意义.

挖掘题干中隐藏的放缩不等式

放缩不等式是数学解题中的常用手段,颇具技巧性.本文主要探究一类隐藏在题目中的放缩不等式,并将其直接应用于解题当中,使得解答变得更简洁.

由一道求极限题谈不等式思维培养

在高校公共数学课的教学中,不等式思维的培养很有意义.在利用夹逼准则求函数极限时,如何运用不等式思维进行适度放缩是关键所在,也是一个难点.通过一道极限题的教学案例,展示完整的分析过程.通过灵活运用不等式思维对研究对象进行放缩的训练,学生的数学思维能力可以得到很好的提升.

对数不等式链在高考压轴题中的应用

在立足于教材上的常用放缩不等式基础之上,高考试题进一步考查了对数均值不等式及分式不等式.实质上,如果我们站在函数逼近论的角度来看,最基础的lnx≤x-1其实是y=lnx在x=1处的一阶泰勒展开,为了提高逼近的精度,我们可以用更高阶的泰勒展开,或者利用帕德逼近.

放缩法证明数列不等式常用技巧

数列不等式证明是高考中的重要题型,证明数列不等式常常考虑用放缩的方法解决问题,而这部分内容成了许多学生很难攻克的知识点,说其难攻克,主要难在类型复杂、技巧性强,本文通过总结的常用技巧比较快速解决数列不等式的证明题.

恒成立问题中参数范围的求解策略

恒成立中的参数范围问题时高考中的常考题型.这类问题涉及知识点多,可考查的数学思想方法丰富,对学生的能力要求较高.本文梳理出4个解题方向和6种解题思路,并探讨了每种思路所对应的题目特征.

一类双重最值问题的解法探究

双重最值问题是指形如求解min{max{f1(x),f2(x)}}的相关问题,探究复杂的多元双重最值问题的解题策略,包括数形结合与分段(分类)讨论;探究了均值不等式、设而不求、先猜后证、绝对值的三角不等式放缩等方法,旨在介绍解决双重最值问题的通性通法.

Nekrasov矩阵行列式界的估计

利用矩阵Schur补的定义,结合不等式的放缩技巧和数学归纳法,给出Nekrasov矩阵行列式界的估计,改进和推广了已有结果,并用相应的数值实例说明了所得结果的有效性.

解决复杂数列极限问题的几种方法

通过对几种复杂数列极限的计算 ,进行归纳和总结 。

小变形,大应用

学习指数、对数运算之后,我们很容易知道如下两个变形是成立的:(1)x=elnx(当x> 0时);(2)x=lnex(其中x∈R).再根据"切线不等式"ex≥x+1(当且仅当x=0时不等式取等号)和lnx≤x-1(当且仅当x=1时,不等式取等号)进行放缩,可得如下常用结论:当x>0时,有xex=elnx+x≥lnx+x+1成立,也有x+lnx=ln(xex)≤xex-1成立.

一类导数压轴题中双变量问题的多角度探究

在近几年的各地高考及模拟考中,导数压轴题常以双变量不等式的形式进行考查,是学生解题过程中的一个难点.文章对导数不等式中的双变量问题进行多角度探究,挖掘其几何背景,提炼规律并进行应用.

函数的数量级与零点定理的条件

应用零点定理解决函数零点问题是高考数学中常考的题型.满足零点定理条件的点的选取常常需要进行不等式放缩,这与函数的数量级有关.本文介绍函数数量级的严格表述,并给出有关不等式的放缩方法,以帮助中学师生理解解决函数零点问题时取点放缩的理论依据.

例谈两距离和最值的求解策略

求解两距离和的最值问题是解析几何中一类常见的题型,其求解的策略主要有利用不等式放缩、三角换元、转化为共线等,本文将结合具体实例进行分类解读,以帮助同学们掌握此类问题的转化技巧.1不等式放缩求距离和的最值例1已知直线l;:kx-y+4=0与直线l;:x+ky-3=0(k≠0)分别过定点A,B。