两点间线段最短的实际应用——关于初中平面几何中最值问题的剖析

在解决平面几何中的最值问题时常常会想到两点之间线段最短的数学定理,但如何将这种定理应用在实际问题中求解存在疑问.本文聚焦两点之间线段最短在最值问题中的求解过程,思考这个数学定理在实际数学问题中的更多可能性.

两点之间线段最短的应用问题

基本图形如图1,A,B两点之间的所有连线中,线段AB的长度最短(简称两点之间线段最短).基本用法对于几何中求以两个定点为端点的几条线段之和的最小值问题,通常可以转化为两点之间线段最短的问题.应用举例例1如图2,将军欲从A地出发到河边(MN)某处饮马,然后再到B地军营视察,问怎样走路线最短?

也谈“两点之间线段最短”的建模应用

在中学阶段开设数学课程，一方面是为了让学生掌握一定的数学基础知识和基本技能，另一方面是为了培养学生的思维能力、创新能力，让学生理解和运用数学思想和方法。两者相比较，后者更为重要。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”

运用“两点之间线段最短”解题的奥妙

求线段和最小值问题,在初中数学中经常会遇到,甚至是中考的考点之一,体现着它解题的神奇奥妙。我们可借助轴对称将两条线段的和转化到同一条直线上,再利用"两点之间线段最短"来解决两条线段和最小值的相关问题,可收到事半功倍的效果.

巧用两点之间线段最短三例赏析

几何公理＂两点之间,线段最短＂,在数学推理和实际生活中有着广泛的应用,本文从三道例题出发,对如何巧用此几何公理做简单阐述.

寻动点轨迹,求线段最值(初三)

初中阶段与平面几何相关的常见动点的轨迹有两种：直线（线段）和圆（弧）。相关最值问题用到的知识点主要有“两点之间线段最短”。“垂线段最短”，平面上一点和圆上各点连线中，过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短、与圆的远交点距离最远．所以突破动点问题，就需要猜想动点的运动轨迹，在变中把握不变的元素，将问题抽象为基本模型，寻找解题方法．下面选取几例与大家共赏．

“两点之间线段最短”在解最值问题中的应用

“两点之间，线段最短”是初中数学的基本定理之一．本文举几个例子，来说明这个基本定理在解最值问题中关键的应用．

2020年中考数学压轴题高频热点问题赏析(4):线段和的最小值问题——两点之间线段最短

线段和的最小值问题是中考数学压轴题一个永恒的热点问题,在选择填空题中也是热点,在数学竞赛里同样也是热点.课本知识1:“两点之间,线段最短”就是“三角形两边之和大于第三边”的依据.

用图形的轴对称性求线段和的最小值

为帮助初中学生掌握应用图形的轴对称性求线段和的最小值问题，巩固所学“轴对称最值”模式，以拓宽视野，对这类问题有一个完整的了解，本文现结合举例，分类介绍如何利用“两点之间线段最短”或“三角形任何一边小于另两边之和，借助于图形的轴对称求两线段和的最小值．

如何破解线段最值里的“三截棍”

线段最值,包括一条线段,两条线段和甚至多条线段和的最值,通常解决的思路是化成一条线段,利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”来解决,当然在加入圆相关概念之后,可用定理会更多.多条线段和的最值也被归纳为“胡不归+阿氏圆”模型,当然,核心依然是上述基本定理.

动点产生的线段和差问题

初中阶段，线段和、差的最值问题是一个难点。求解这类问题，关键的在于找出两个“量”：一是定点，二是动点或不定点所在的定直线；进而利用“两点之间线段最短”或三角形的三边关系来解决。1求和1．1两定点＋-定直线例1（牛饮水问题）牧童在彳处放牛，他的家在B处，1为河流所在直线，晚上回家前要先带牛到河边饮水，饮水地点选在何处，牧童所走路程最短．

用图形的对称性求线段和的最小值

为帮助初中学生掌握应用轴对称性质求线段和的最小值问题，巩固所学“轴对称最值”模式，以拓宽视野，对这类问题有一个完整的了解，本文现结合实例，分类介绍如何利用“两点之间线段最短”或“三角形任何一边小于另两边之和”，这两个定理，借助于图形的轴对称求两线段和的最小值．

两点之间线段最短在作图题中的应用

两点之间线段最短是平面几何中一个重要的公理,应用这一公理可以解决许多几何作图和现实生活中最短路程的问题.以下举几例予以解答,以期对同学们有所启发.

几何最值问题的浅显研究——最短路线问题

最值问题是初中数学的重要内容,也是综合性较强的数学问题,它贯穿于初中数学的始终,一直是中考命题的热点,经常出现在压轴题中.最值问题大都归结于函数模型和几何模型,属于一种能力考查类的题目.

空间几何体中最值问题的常用求法

立体几何中的最值问题主要与空间图形的距离、角、面积、体积有关,是高考命题的热点。此类问题涉及知识面较广,灵活性较大,常用的求法有:二次函数性质法、基本不等式法、射影法、两点之间线段最短法、垂线段最短法、三角函数性质法等。

对“两点之间线段最短”的再认识

运用“两点之间线段最短”求最短路径问题是中考难点.该基本事实对应着多种解题模型,在解题过程中,学生或意识不到题目中存在着模型;或不能在复杂图形中勾画出模型的轮廓;如果命题人把构成模型的部分要素隐藏起来,也没有能力复原它.出现这种现象的关键性原因:教师在讲授最短路径问题时,只告知学生解答模型的方法,不讲为什么会有这样的解法,不归纳模型特点,不探索模型之间逻辑联系。

数学竞赛中的几何最值问题

几何中的最值问题广泛存在于初中数学竞赛中，这类问题具有很强的探索性，需要运用动态思维以及数形结合等思想方法．几何最值问题常用的解决策略有2类：一是利用几何中不等量的性质（如“两点之间线段最短”、“垂线段最短”等）求解，求解时运用平移、轴对称和旋转等几何变换；二是借助代数方法，建立方程、函数模型求最值．

一类平面几何最值探秘(续)

《一类平面几何最值探秘》(发表于《数理天地》(初中版)2022年5月上)已就a+kb类平面几何最值问题中k=0的情况作了探究,本文继续探求当k=1,0<k<1,k>1和k<0(k=-1)时的最值.1.当k=1时,为a+b型,及由此推广的a+b+…型,是求一点到两点(或多于两点)距离之和的最值问题.这类问题往往要通过变换(较多的是轴对称变换,也有旋转变换)转化为两点之间线段最短.

巧用对称性求解三角形周长的最小值

三角形周长的最小值的求解是初中数学学习的一个重点和难点.在求解此类问题时,学生往往感到不知从何入手.本文探讨的主要内容是如何利用对称性来解决三角形的周长何时取得最小值.