两角差余弦公式引入方式的比较研究

对于同一个数学公式,每位教师的引入方式不尽相同.笔者以苏教版教材中的两角差余弦公式为例,梳理六种不同的公式引入方式,分别对应新手型教师、经验型教师、成熟型教师、骨干型教师、专家型教师、名家型教师,并加以比较,指出不同引入方式的优缺点.借助研究公式引入方式,使公式推导过程更加自然,在教学中关注学科育人,培养实践思维,适当渗透数学史,切实提升学生数学抽象素养.

指向“返朴归真”的数学教学——以“两角差的余弦公式”教学为例

从三个视角阐述“返朴归真”的数学教学:一是返教学方法之朴,归理念之真;二是返教学设计之朴,归过程之真;三是返教学手段之朴,归技术之真.

基于核心素养的数学公式教学设计——以“两角差的余弦公式”教学为例

两角差的余弦公式作为三角恒等变换公式中的“母公式”,其发现与推导过程极为重要,为后续两角和、二倍角等公式的生成提供方法借鉴。教师教学“两角差的余弦公式”时,可以引导学生在探究中发现并体悟两角差的余弦公式,将学生思维引向深层,凸显数学公式学习的深度,在公式的主动生成中发展学生的数学学科核心素养。

“两角和与差的余弦公式”:从历史中找价值、看证明

采用HPM视角来设计＂两角和与差的余弦公式＂的教学：利用阿里斯塔克斯解决天文测量问题和托勒密制作弦表的史实来引入,让学生感受两角和与差的正、余弦公式产生的必要性;利用帕普斯模型引导学生证明公式,并对帕普斯模型做适当改进;通过微视频介绍麦克肖恩方法的历史背景,再让学生阅读教材学习这一证明方法并谈谈感悟,体会麦克肖恩当时的想法。课后反馈表明,这样的教学沟通了历史和现实、数学和人文,体现了＂知识之谐＂＂探究之乐＂＂方法之美＂＂能力之助＂＂文化之魅＂＂德育之效＂。

两角差正弦、余弦公式的新证探研

本文通过对两向量的向量积、数量积的大小关系的运算，利用单位圆对两角差的正弦、余弦公式进行证明，以提高教学效率，增强学生的创新思维意识．

基于多元表征 促进全面理解——对“两角差的余弦公式”的教学思考

两角差的余弦公式有多种表征形式,从多元表征的视角实施两角差余弦公式的教学,有助于学生从多角度深刻理解公式、把握公式,从而发展学生的数学思维能力,提升学生的数学核心素养.本文从多元表征的教学价值、表征形式的合理选择、表征出现的顺序设计、表征理解的持续深化等方面对两角差余弦公式的教学提出了建议.

大概念引领下的“两角差的余弦公式”的教学

最近,笔者观摩了两节数学公开课,上课的主题为人教A版(2007)教材必修4中的“3.1.1两角差的余弦公式”.纵观两节课,两位教师的差异主要体现在公式的推导上.1公式究竟用什么方法推导两角差的余弦公式作为三角恒等变换公式中的“母公式”,其推导过程不仅极其重要,而且能够为后续两角和、二倍角等公式的证明提供方法借鉴.

一次刻骨铭心的蜕变——记“3.1.1两角差的余弦公式”研究试验课的始末

针对“两角差的余弦公式”的教材内容，从利用三角函数线探究两角差的余弦公式，利用向量探究两角差的余弦公式、探究两角差的余弦公式的一般结论三个方面，设计了八个问题，并逐一回答．通过这种方式解读了教材，呈现了对教材的理解，并写出了教学设计和实践后的反思．

指向数学抽象素养的课堂教学研究——透过“两角差的余弦公式”的视点

从具体到抽象,是数学教学必须遵循的规律.由于数学这门学科特点之一就是具有高度的抽象性,所以数学教学必须把发展学生的抽象思维作为一项主要目标.“两角差的余弦公式”具有丰富的数学抽象思维特点,可以据此特点,指向培养数学抽象的核心素养,实现相应的数学教学目标.

让“活动经验”与“思维经验”齐飞--基于“基本活动经验”的“两角差的余弦公式”的教学设计与反思

在核心素养的理念下,高中数学的教学目标要实现“双基”到“四基”的转变.“基本活动经验”是“四基”中的目标之一,其中包括“实践经验”与“思维经验”.要为学生设计数学基本活动,把“基本活动经验”的培养渗透于活动教学之中,以此促进学生数学核心素养的提升.基于此背景,对“两角差的余弦公式”一课的教学进行了探究,希望能够达到一定的借鉴意义.

基于数学核心素养的"两角差的余弦公式"教学设计

数学核心素养是基于数学学科的知识技能,以数学课程教学为载体,学生在学习过程中逐步形成的重要的思维品质和关键能力。作为一线教师,如何在教学设计中全面、准确、深入的去落实数学核心素养目标,是一个值得思考的问题。本文将高中阶段“两角差的余弦公式”这一知识点作为课程设计对象,探讨如何贯穿六大核心素养.

目标引领,评价先行 本质猜想,严谨证明——《两角差的余弦公式》教学设计

一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)》必修4(人教版)的3.1.1节“两角差的余弦公式”,共1课时.三角恒等变换处于三角函数与数学变换的交汇处,是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的统一性,教材选择两角差的余弦公式作为基础,使公式的证明过程尽量简洁,易于学生理解和掌握.教材没有直接给出两角差的余弦公式,而是分探求结果、证明结果两步,这样安排使探究更加真实,利于学生学会探究、发展思维.

渗透数学文化 落实核心素养--对“两角和与差的余弦公式”教学的再设计

《普通高中数学课程标准(2017年版)》强调“注重数学文化的渗透”.数学文化对发展学生数学核心素养的教育价值是显而易见的.笔者以“两角和与差的余弦公式”的教学设计为例,立足课堂,渗透数学的文化内涵,落实数学核心素养的培育.

课堂高品位 素养融其中——听曹军才《两角差的余弦公式》教学设计有感

一段时间以来,各种杂志发表了大量落实“核心素养”的文章,介绍了各位作者对落实核心素养的研究成果,读来令人鼓舞.但掩卷反思,落实核心素养不是一蹴而就的事,没有哪种方法能把“核心素养”都落实到位.笔者以为,要把落实“核心素养”落到实处,唯有按照数学教育基本规律,做到“两个尊重”,即数学课堂教学要尊重数学知识的内在规律,要展示数学知识的发生、发展过程,同时尊重学生的认知规律.如果在此基础上再能坚持“两个度”,即课堂教学既要有思想(哲学或数学)高度还要有文化厚度,那就更好了.

从数学本质谈“两角差的余弦公式”教学难点的突破

在"两角差的余弦公式"教学中,教师可以运用"几何综合法",从通性通法和数学本质的角度,推导公式,发展学生的数学核心素养.

暴露思维过程的数学教学设计示例--透过“两角差的余弦公式”的视角

现代数学教学理论认为,数学教学是思维活动的教学.因此在数学教学过程中,能够充分暴露数学家、教材编写者、教师和学生的思维活动,阐明数学知识的产生、形成、发展和应用过程,这对于学生学习数学的积极性、学生思维结构的完善以及数学知识体系的形成都具有重要意义.本文透过“两角差的余弦公式”的视角,展现如何在高中数学教学过程中暴露思维,揭示该公式的产生、形成与发展过程.

基于MPCK视角下的高中数学公式推导的教学建议——以两角差的余弦公式推导为例

以两角差的余弦公式推导的教学为例,探讨基于MPCK的视角下,高中数学公式推导教学的方法、措施及关注点,提出了MPCK视角下的高中数学公式推导教学的建议.

“两角差的余弦公式”的教学设计

文章以高中数学“两角差的余弦公式”为例,针对高中数学的教学目标,明确教学重点和难点,坚持采用“引导——启发——探究”的教学方法,以学生为本,让学生体验知识发现的过程,对教学内容进行教学设计,以期建构“生本课堂”,提高课堂教学质量.

基于弦图情境的公式教学实践与思考——以“两角差的余弦公式”为例

1问题提出在对2019年人教A版高中数学系列教科书的首轮使用中,笔者发现学生在公式学习中会存在一些困惑,概括起来,大多集中于“三个怎样”——怎样想要先研究这个公式?怎样发现猜想出这个公式?怎样想方法证明这个公式?

复数法巧证三角恒等变换公式

三角恒等变换公式繁多,且有些公式非常相似,这导致一些学生很难准确记忆每个公式,更别说熟练运用这些公式去解决具体问题了.记忆公式的一个有效途径是自己将公式重新推导一次,但教材中给出的推导过程较为复杂,部分学生不易理解.例如,人教A版普通高中教科书数学必修第一册先在单位圆中构造三个具有一定关系的角,再运用两点间的距离公式列出方程,化简后即可得到两角差的余弦公式,然后以此公式为基础推出其他三角恒等变换公式.