数论中二元二次型理论的起源和早期发展

二元二次型理论是数论的一个重要分支,且与初等数论中许多最优美的定理有关。通过研究原始文献,系统分析了二元二次型从最初萌芽到形成独立完整的研究对象的历史过程,揭示了数学中化特殊为一般、变具体为抽象、从个别对象到分类研究方法的重要意义,对其他数学学科的发展产生了一定影响。

关于二元二次原型表整数Ⅱ:Diophantus 方程 D_1x^2-D_2y^2=δk^2

设 D 是非平方整数,D_1、 D_2是适合 D_1,D_2=D,gcd(D_1,D_2) =1,D_1>0的整数,k 是适合 gcd(k,D)=1的整数.本文根据二元二次原型表整数方面的结果,运用初等方法完整地给出了方程 D_1x^2-D_2y^2=δk^(?),δ=1,2或4的全部整数解(x,y,z).

二元二次型条件下最值问题的多解与变式探究

二元二次型条件下的最值问题是高考数学中的高频考点,技巧性较强,解法灵活多变,往往需要因题而异。通过多解与变式探究,可帮助我们进一步提高分析、解决此类问题的能力,不仅能够明确常用解法,而且能够理解、掌握通用的求解方法,即“拉格朗日乘数法”,有效提升解题能力。

浅谈数论中二元二次型理论的起源与早期发展演化

现代数学发展至今,已经经历了数以千年的发展历史,这其中蕴含了无数数学贤者的智慧结晶与心血.其中,数论当中有一个非常重要的分支理论,叫做二元二次型理论,它与初级数论当中所涉及的许多基础性定理都是息息相关的.本文,通过数篇原始级别文献资料,全面化的分析了关于数论中二元二次型理论的起源与早期发展的一系列演化过程.随着时间不断的推移,笔者相信通过探究数论中二元二次型的演化历史,将会对未来其余的数学有关学科带来十分积极的影响,从而推动整个中国乃至于全世界的数学文明进程.

虚二次域的L-函数在中心点的值

给出了虚二次数域的一类L-函数在中心点的值,这为研究Dirichlet L-函数在中心点的算术意义提供了一条新的途径。

Euler数的整除性及一些猜想

Euler数是从组合、数论的许多问题中提出来的,和著名的Bernoulli数、Genocehi数有一定的联系,在组合数学、解析数论、函数论以及理论物理学中占有重要的地位,有着深刻而广泛的应用.对Euler数的整除性的研究,一直是初等数论、组合数学的基础课题.运用二元二次型的类数公式,利用Yuan的思想,研究了当m为正奇数时Euler数Et的整除性,其中,t=2m/4」,获得了Et对模m的一些结果,推广了文献中的一些结论.作为定理的应用,得到了一些较大的Euler数E2n的素因子,对文献中的一些例子进行了补充,并提出了关于Euler数的若干问题和猜想.

关于同余式的未解决猜想

本文收集了作者提出的100个未解决的同余式猜想,其中一些以前从未公开发表过。这是作者预印本arXiv:0911.5665的新版本,删除了原版中已解决的猜想并增添了一些新猜测。这里的许多同余式与素数的二元二次型表示或关于π幂次的级数有关;例如,我们提到两个新的猜测的等式∞∑n=012n+1/100^n(2n n)n∑k=0(2k k)^2(2(n-k)n-k)(9/4)^n-k=75/4π与∞∑k=1 3H^2k-1+4Hk-1/k/k^2(2k k)=π^4/360,其中Hk-1:=∑0<j≤k-1 1/j,并包进了相关的同余式。希望本文能引起数论学家的兴趣并激发出进一步的研究。

交换环论起源中的三类问题

环论是抽象代数学中较为深刻的部分,亦是结构数学的重要分支,可分成交换环论和非交换环论两大类。交换环论源于19世纪早期的代数数论、代数几何和不变量论。通过文献考证与概念分析,对交换环论在代数数论中的起源进行研究,认为高次互反律、二元二次型和费马大定理在这一进程中发挥了重要作用。

一类不定方程的解

讨论不定方程ax^2+by^2+cz^2=m+dxyz。利用二元二次型和初等数学的知识,给出a,b,c都整除d时,方程存在基础解时正整数a,b,c,d和非负整数m所有可能的取值。对每一个有基础解的方程,求解得出它的基础解,由这些基础解可以计算得到方程的多个整数解。

一类不定方程的解

目的设正整数a,b,c都是正整数d的因数,讨论不定方程ax^2+by^2+cz^2=2+dxyz的整数解。方法借助于二元二次型和Pell方程的有关结论,进行分析和论证。结果当方程ax^2+by^2+cz^2=2+dxyz有解时,求出a,b,c,d所有可能的取值及相应的有限个正整数解。结论通过有限个解可以计算得到该方程的所有整数解。