平方数的位数和函数的2个性质

设正整数n的二进制表达式为n=i≥0∑εi(n)2i,这里εi(n)=0或1,i≥0,定义二进制位数和函数为s(n)=i≥0∑εi(n).设s(n)=k,证明了s(n2)≤k(k+1)J2,并且证明了几乎所有满足s(n)=k的正整数n都满足s(n2)≤k(k+1)J2,从而给出了|{n<2N:s(n)=k,s(n2)=m}|的一个确切分布.

特殊集上素变数方程的解

令n=e0＋e12＋…＋ek2k，其中ej=0，1（j=0，…，k）表示自然数n的二进制展开式，N0表示二进制展开式中项数为偶数的自然数的集合．分别给出了这个特殊集上素变数方程p1＋p2＋pk3=N和P1＋p22＋p23＋p24=N解的个数的渐近公式．

平方数的位数和函数的渐近分布

设正整数n的二进制展开式为n=Σεi2i,这里εi=0或1,i≥0,定义二进制位数和函数为s(n)=Σεi.证明了假设n2的二进制展开式中每个位置上0和1出现的概率相等,则s(n2)在模2和模3的剩余类里的渐近分布是均匀的.