如果不等式是一个n元对称式,那么应用逐步调整法来证明有时显得较方便。下面通过两个例子的分析来说明这方法的意义。例1 已知a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,…,a<sub>k</sub>,…为两两各不相同的...如果不等式是一个n元对称式,那么应用逐步调整法来证明有时显得较方便。下面通过两个例子的分析来说明这方法的意义。例1 已知a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,…,a<sub>k</sub>,…为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,下列不等式成立: sum from k=1 to n (a<sub>k</sub>/k<sup>2</sup>)≥sum from k=1 to n (1/k). (第二十届国际数学竞赛试题第5题) 证:(1) 如果已知数列恰好满足条件: a<sub>1</sub>【a<sub>2</sub>【…【a<sub>n</sub>,由于a<sub>k</sub>(k=1,2,…,n)各不相同,且均为正整数,则a<sub>k</sub>≥k(k=1,2,…,n),这样就可立刻得到 sum from k=1 to n (a<sub>k</sub>/k<sup>2</sup>)≥sum from k=1 to n (k/k<sup>2</sup>)=sum from k=1 to n (1/k). ① (2) 如果已知数列不满足以上条件。展开更多
文摘如果不等式是一个n元对称式,那么应用逐步调整法来证明有时显得较方便。下面通过两个例子的分析来说明这方法的意义。例1 已知a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,…,a<sub>k</sub>,…为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,下列不等式成立: sum from k=1 to n (a<sub>k</sub>/k<sup>2</sup>)≥sum from k=1 to n (1/k). (第二十届国际数学竞赛试题第5题) 证:(1) 如果已知数列恰好满足条件: a<sub>1</sub>【a<sub>2</sub>【…【a<sub>n</sub>,由于a<sub>k</sub>(k=1,2,…,n)各不相同,且均为正整数,则a<sub>k</sub>≥k(k=1,2,…,n),这样就可立刻得到 sum from k=1 to n (a<sub>k</sub>/k<sup>2</sup>)≥sum from k=1 to n (k/k<sup>2</sup>)=sum from k=1 to n (1/k). ① (2) 如果已知数列不满足以上条件。