求解凸优化的交替极小化变体及其次线性收敛性分析

交替极小化方法是求解变量分块凸优化问题的一个基本的方法,其主要困难在于有效地求解交替极小化过程中产生的两个子问题.在本文中,通过借助近似线性化技术,我们设计了两个交替极小化方法的变体.第一个变体适合于两个子问题之一容易求解而另一个不容易求解的情形;第二个变体则适合并行计算.理论上,基于近似算子的相关知识,我们首先将交替极小化变体进行了形式上的统一,然后在恰当的假设条件下证明了算法的次线性收敛性.

一种惯性交替极小化算法及其应用

提出一种惯性交替极小化算法求解具有线性等式约束的两块可分离凸极小化问题,其中一块是强凸的。我们证明所提出的算法收敛到原问题和对偶问题最优解。作为应用,将所提出的算法用于求解一类复合凸极小化问题,该问题在图像去噪中有着广泛应用。最后,通过对具有约束的全变分图像去噪模型进行数值实验,数值结果验证所提出算法的有效性和优越性。

求解一类非凸非光滑问题的惯性邻近交替极小化算法

本文考虑一类非凸非光滑优化问题,提出了一种惯性邻近交替极小化算法。通过构造一个新的效益函数H,并保证其具有下降性,证明了算法的全局收敛性。当H为Kurdyka-Lojasiewicz函数时,证明了算法的强收敛性。

低秩稀疏矩阵恢复的快速非单调交替极小化方法

针对低秩稀疏矩阵恢复问题的一个非凸优化模型,本文提出了一种快速非单调交替极小化方法.主要思想是对低秩矩阵部分采用交替极小化方法,对稀疏矩阵部分采用非单调线搜索技术来分别进行迭代更新.非单调线搜索技术是将单步下降放宽为多步下降,从而提高了计算效率.文中还给出了新算法的收敛性分析.最后,通过数值实验的比较表明,矩阵恢复的非单调交替极小化方法比原单调类方法更有效.

基于局部高斯分布模型的图像配准方法

提出了一种基于统计和变分相结合的非刚体图像配准新模型。假设残差图像服从具有不同均值和方差的局部高斯分布,由此得到一个双重能量泛函,再结合变分的正则化方法,得到了一种配准新模型。该方法的新颖之处在于,保真项中引入了权重函数和一些控制参数。其中权重函数可以自动有效地区分残差图像中灰度对比度不同的区域,控制参数的引入提高了算法的鲁棒性。合成图像、二维肺部CT及三维大脑MRI图像的配准结果证明了这一方法的有效性和准确性。

基于测地轮廓和特征函数的灰度异质图像分割

灰度异质图像的分割是图像处理中一项非常有挑战性的任务。CVB模型虽然能较好分割灰度异质图像,但是其分割结果容易出现过度分割或欠分割问题。为了精确分割灰度异质图像,该文在CVB模型的基础上,引入基于测地轮廓的长度项来捕捉目标物体的边缘信息,提出一种新的变分分割模型。同时,为了提高计算效率,该文利用特征函数来表示测地轮廓长度,并且通过基于特征函数的热核卷积形式逼近测地轮廓的周长。进一步,结合交替极小化和迭代卷积阈值法,该文设计出一种快速数值求解算法,并且给出了该算法的收敛性和稳定性分析。最后,对合成图像、核磁共振图像以及魏茨曼分割数据集上的原始自然图像等三类灰度不均匀图像进行分割实验,并且采用Dice相似系数和Hausdorff距离作为图像分割的评价指标,实验结果表明:该方法不仅提高了图像分割精度,而且明显提升了收敛速度。

自适应饱和度–明度全变差的彩色图像去噪算法

基于饱和度–明度全变差的图像去噪模型(SV-TV模型)能有效去除彩色图像中的高斯噪声,但去噪效果依赖于模型中正则化参数的选取。本文在SV-TV模型的基础上,结合交替迭代极小化方法,提出一种自适应饱和度–明度全变差的彩色图像去噪算法。该算法利用广义交叉验证技术,使得SV-TV模型中的正则化参数在算法迭代过程中可以自动更新。数值实验结果验证了所提自适应算法的有效性与可行性。

一种新的去噪模型的分裂Bregman算法

该文在研究两步模型的基础上,提出了一种新的变分去噪模型。通过分析新模型的性质,给出一种高效且快速的数值算法。由于新模型耦合了两个变量,因此新算法首先利用交替极小化方法化原模型为两个简单的子模型,然后再对两个子模型分别利用分裂Bregman方法进行数值求解。实验结果表明,新算法不但收敛速度较快,而且在去噪过程中能够减缓阶梯效应并能较好地保持图像的边缘信息。

基于快速稀疏低秩和鲁棒主成分分析的图像处理算法的研究

实际的稀疏低秩处理图像过程中,在视觉显示效果没有很大的差异的情况下,算法的时间复杂度是唯一的一个评价指标。我们发现快速交替极小化(FAST PCP)和鲁棒主成分分析(RPCA)的结合是比较快速、比较有效的利用CPU的高效稀疏低秩处理图像的方法,并且在无法保证计算机配置的情况下,其运算速度也是最快的。在课题中,将Steffensen迭代法用于改进FAST PCP,由此得到的结果较普通版本的FAST PCP和RPCA更加好。

高阶模型的快速图像修补

图像修补是图像复原研究中的一个重要课题。针对总变分模型在修补图像过程中存在的阶梯效应,将高阶偏微分方程(PDE)引入到图像修补中,采用罚方法及交替极小化算法求解该模型。通过仿真实验及结果分析说明该模型及算法的有效性和优越性。

基于凸松弛的图像选择性分割模型的快速算法

针对基于测地距离的图像选择性分割模型非凸的缺陷,该文结合凸松弛方法,提出凸松弛的选择性分割模型,并通过证明,给出凸松弛模型的解与原模型解之间的关系。然后,应用交替方向乘子法(ADMM),设计凸松弛模型的数值求解算法,并给出了该算法的收敛性。数值实验结果表明:该文所提算法的收敛速度不仅大大优于求解原模型的加性算子分裂算法,而且分割结果也更精确。

基于非凸的全变分和低秩混合正则化的图像去模糊模型和算法

非盲图像去模糊问题是从已知核的带噪声的线性卷积变换中恢复原始图像.如果噪声是满足高斯分布的,则可以直接使用最小二乘求解.然而在大多数情况下,去模糊问题都是高度病态的,直接求解无法做到.因此,通常的做法是通过抽取原始图像的已知统计先验信息进行正则化来帮助求解问题.两种常用的正则化是低秩和全变分.早期的相关工作单独使用这两种正则化.直到几年前,人们才考虑将这两种正则化结合起来.已有的结果表明,混合正则化模型比单一模型具有更好的性能.然而,目前的混合正则化方法只是采用凸方法,非凸的工作仍然是空白的.考虑到非凸正则化在很多种情况下都比凸正则化的效果要好,因此本文使用L1/2范数和Schatten-1/2范数提出了一种新的非凸混合模型.我们使用这两个非凸函数,因为它们的近端算子很容易计算.这种非凸混合正则化模型本质上是一个非凸线性约束问题,可以通过交替方向乘子法求解.然而,非凸性使得交替方向乘子法收敛十分困难.因此,我们转向求解原问题的惩罚问题.将交替最小化方法应用于惩罚问题就可以得到提出的算法,其中每个子步骤只涉及非常简单的计算.由于惩罚参数很大时,交替极小化算法速度会很慢,为了加速算法,针对惩罚参数我们使用了预热技术,即选取很小的初值但是在迭代过程中不断将参数增大.我们证明了该算法的收敛性.数值实验验证了本文提出的模型和算法的有效性.在非常温和的假设下,我们证明了算法的收敛性.数值实验验证了本文提出的模型和算法的有效性.

自适应广义全变差的图像泊松去噪算法

针对医学、天文图像中的泊松噪声,基于广义全变差的图像泊松去噪模型,结合交替迭代极小化方法,提出一种自适应广义全变差的图像去噪算法。该算法利用广义交叉验证技术,使得模型中的正则化参数在算法迭代过程中可以自动更新。数值实验结果验证了该算法的有效性与可行性。

基于Retinex理论与局部灰度信息的图像分割方法

针对灰度不均匀图像分割问题,文中提出一个新的两阶段图像分割方法。第一阶段,利用结构部分和偏移场的光滑性,提出一个基于Retinex理论的变分模型,提取图像的结构部分。第二阶段,利用偏移场的局部常数特性,提出全变差的图像分割模型,对提取出的结构部分进行分割。文中提出的方法充分利用了图像的各种先验信息,从而获得了比较精确的分割结果。此外,文中给出了第一阶段模型的理论结果,并结合交替极小化方法,设计了一种有效的数值求解算法。最后的数值实验结果验证了该算法的有效性与可行性。

一种改进的非凸正则项模型的噪声去除方法

针对非凸正则项模型,在去除乘性噪声时边缘信息对噪声敏感且强度较大的噪声抑制能力弱的缺陷,提出了一种改进的图像去噪新模型。在新模型中通过取对数将乘性噪声转变成加性噪声,然后在模型的正则项和忠诚项中均引入高斯卷积,既对图像进行平滑预处理,又获得丰富的边缘信息,从而对边缘作出精确定位,使新模型具有良好的鲁棒性并根据图像的特征进行平滑,因而更好地保护了图像的边缘。数值实验表明,新方法的去噪结果在定量指标上有大幅提高,视觉效果上也有较大改善,尤其是对强度较大的噪声,新方法的优势更突出。

一个基于张量火车分解的张量填充方法及在图像恢复中的应用

低秩张量填充在数据恢复中有广泛应用,基于张量火车(TT)分解的张量填充模型在彩色图像和视频以及互联网数据恢复中应用效果良好。本文提出一个基于三阶张量TT分解的填充模型。在模型中,引入稀疏正则项与时空正则项,分别刻画核张量的稀疏性和数据固有的块相似性。根据问题的结构特点,引入辅助变量将原模型等价转化成可分离形式,并采用临近交替极小化(PAM)与交替方向乘子法(ADMM)相结合的方法求解模型。数值实验表明,两正则项的引入有利于提高数据恢复的稳定性和实际效果,所提出方法优于其他方法。在采样率较低或图像出现结构性缺失时,其方法效果较为显著。

一种改进的子空间聚类方法

目的更好地揭示高维数据的子空间结构,提高子空间聚类性能。方法对系数矩阵施加Frobenius范数约束,并使其与稀疏矩阵充分接近,建立新的子空间表示模型,利用系数矩阵构造相似度矩阵,最后利用谱聚类算法得到聚类结果。结果与结论新模型能得到类间稀疏和类内聚集的系数矩阵,提高了聚类性能,且能快速实现。

一种求解两两合作轮流博弈问题的混合分裂算法

提出了一种求解两两合作轮流博弈的四人博弈问题的混合分裂算法.为了模拟实际博弈过程,该算法由两个组内平行分裂算法和一个组间交替极小化算法构成.算法允许对博弈子问题非精确求解,反映了实际博弈中参与人的有限理性,即允许参与人在博弈过程中出现满足一定条件的误差.在适当条件下,证明了所提出的混合分裂算法全局地收敛到所考虑博弈的Nash平衡.

基于模糊聚类与Retinex理论的多相图像分割方法

由于不同对象区域之间强度范围的重合,在存在灰度不均匀的情况下很难分割图像。针对这一问题,通过引入模糊隶属度函数,提出一种新的基于Retinex理论的多相图像分割模型。该方法允许每个像素点以不同隶属度同时归属于多个区域,可真实反映出图像的不确定性,并通过极小化能量泛函实现对目标物体的提取。同时在交替极小化方法的框架下,设计一种有效的算法对模型进行数值求解。实验结果表明,该模型对于灰度不均匀的真实图像和医学图像均能有效进行分割,SA指标和Dice指标的平均值分别达到0.950 6和0.914 1。相比于相关的代表性算法,Dice值提升了0.002 7~0.010 7,k值提升了0.002 9~0.011 7。

基于Tikhonov正则的图像盲复原算法

图像在获取、传输及保存的过程中,很多因素会导致图像质量退化,图像模糊是图像质量退化的一种常见表现。基于全变差(TV)的图像复原Chan模型虽然能较好地刻画导致图像质量退化的模糊核,但该模型的图像复原结果严重依赖于参数的选取。针对Chan模型对参数敏感的问题,在该模型中引入模糊核的Tikhonov正则,提出新的盲去糊模型,并证明新的盲复原模型解的存在性。另外,采用由粗到精的多层图像金字塔策略,构造模糊核的初始值,再结合交替极小化(alternating minimization,AM)方法,设计基于初始模糊核的快速算法求解所提模型。数值实验结果表明:所提模型与其他正则化模型相比,在不需要模糊核动态阈值约束的前提下,不仅能得到高质量的图像复原结果,而且对参数有较好的鲁棒性。