休谟原则与弗雷格定理

弗雷格《算术的基本规律》中二阶逻辑理论FL是不一致的,在语法上可以推演出罗素悖论,在语义上,矛盾于康托尔定理,进而是不可满足的。通过仔细考察弗雷格的逻辑系统FL、FL的子系统FA以及算术还原为逻辑的推理过程,可以看出弗雷格在用公理五与概念的数的显定义推演出休谟原则后,不再实质依赖于公理五与概念的数的显定义。休谟原则与带完整二阶存在概括规则的二阶逻辑组成的系统FA是一致的,并且足以推出戴德金皮亚诺系统的五条公理,这实质上给出了不同于皮亚诺公理系统的另外一种算术公理化系统。根据自然数的定义,弗雷格实质上利用数学归纳法证明了每个自然数都有后继存在,加上后继的唯一性,弗雷格就保证了无穷多的自然数的存在。

休谟原则的认识论意义

弗雷格的逻辑主义的核心观点是算术真理是分析真理,这种分析性是被界定为:如果一个命题可以用逻辑和定义证成,那么这个命题就是分析的。弗雷格的逻辑主义失败了,因为他重构算术的系统有矛盾。随后逻辑学家发现:标准的二阶逻辑加上休谟原则可以推出二阶算术的公理。这一结论被称为弗雷格定理。新逻辑主义的核心论点是:休谟原则虽然不是"显定义",但是这个原则可以解释"基数""有穷数",因此休谟原则给出了一种解释抽象对象的路径。但是新逻辑主义也面临着种种的质疑,其中最具代表性的是布鲁斯对休谟原则"分析性"地位的怀疑。文章在介绍布鲁斯和新逻辑主义争论焦点的基础上,将澄清新逻辑主义在认识论上并不是要论证算术真理的"分析性"而是论证休谟原则可以解释"数",并且解释这种方法为什么优于其他公理系统的"隐定义"。

新逻辑主义的困境与二阶分层概括

由二阶概括公理与公理V所导致的悖论沉重地打击了弗雷格的逻辑主义。罗素的直谓方案和蒯因的分层方案分别可以看作是逻辑主义的延续。上世纪80年代兴起的新逻辑主义把皮亚诺算术建立在二阶概括公理与休谟原则的基础上。但是休谟原则遭到诸多质疑。赫克和博格斯证明了二阶直谓概括公理与公理V的一致性。然而,在遵循弗雷格关于"概念先于外延"这一哲学观点的前提下,不能从二阶直谓概括公理和公理V推出休谟原则。这种困境可以在蒯因分层方案的框架下得到解决。不仅可以证明二阶分层概括与公理V相对于蒯因NF的一致性,而且可以证明从二阶分层概括与公理V推出休谟原则。

逻辑究竟是什么以及逻辑应当是什么?

对于逻辑是什么,有两种相互冲突的立场:当代哲学中流行的看法是逻辑是纯形式的,逻辑命题没有事实内容;而在弗雷格和哥德尔那里,逻辑是有关客观概念世界的科学。这两种观点都需要哲学立场的支撑,前者需要经验论或物理主义的立场,后者则预设了实在论或柏拉图主义。所以,流行的观点并不是哲学中立的,因此也不是更自然的或不可避免的。相反,弗雷格为数学奠定逻辑基础的努力,哥德尔成就逻辑学的伟大成果以及当代逻辑学家对连续统问题的研究都表明,实在论的立场总是能更好地解释逻辑学研究的实践。因此,我们有理由相信:把逻辑视为纯形式的观点,虽然看似自然而然,但在某种程度上是哲学史和逻辑史上的一个误解。

良莠不齐反驳

新弗雷格主义是当前较为活跃的数学哲学思潮之一,其主要代表人物莱特和黑尔认为通过二阶逻辑和抽象原则可以在某种意义上证成弗雷格的逻辑主义。但许多学者对抽象原则的合理性提出质疑,其中引起激烈争论的就是良莠不齐反驳。在简要回顾新弗雷格主义和抽象原则的背景基础上,总结良莠不齐反驳的三个重要方面:不一致的抽象原则,例如公理V和序数原则;两两不一致但自身一致的抽象原则,例如奇偶原则和麻烦原则;两两不一致但自身保守的抽象原则,例如分身原则;相应地,莱特和威尔给出了一系列可接受的抽象原则的标准:一致性、保守性、无界性、第二保守性、朴实性、稳定性、平和性等等。

什么是新逻辑主义

在英美数学哲学领域的新近讨论中,新逻辑主义是比较活跃的一派观点。新逻辑主义继承弗雷格逻辑主义纲领的要义,并从弗雷格的文献中获得启发,主张以算术为主的数学系统可以通过一致的抽象原则还原为二阶逻辑的子系统。

弗雷格定理:一个导言

戈特洛布·弗雷格是现代数理逻辑的奠基人,也是分析哲学的创始人之一。他的大部分工作都致力于建立一种数学哲学———逻辑主义:算术真理都是逻辑真理。长久以来,哲学家一直认为,罗素悖论彻底瓦解了弗雷格的工作。然而实际的情况是,在弗雷格那里隐藏着另一个证明:算术公理可以纯粹逻辑地从休谟原则推出。休谟原则是说,概念F的数和概念G的数相同当且仅当存在F和G之间的一一对应关系。这一结果被称为弗雷格定理,它引发了一种新的逻辑主义的兴起。

元伦理学是基于一个错误吗

罗纳德·德沃金对于元伦理学研究有一个激进的批评。根据他的看法,根本不存在独立于一阶道德判断的、关于道德真理是否存在的二阶问题,道德真理既不需要外在的确证,也不会被任何基于非道德理由的怀疑论所颠覆。因此,“元伦理学是基于一个错误”。本文旨在批评德沃金的这一观点。德沃金的论证并不足以支撑他的主张,元伦理学理论与道德实践之间的关系比德沃金所设想的更加复杂。前者尽管可以确证或者威胁到后者,但要通过非演绎的间接方式。

游走于可数无穷--新弗雷格主义拯救弗雷格矛盾的三种方案

罗素悖论的发现导致弗雷格逻辑主义的失败。弗雷格曾经给出一个修正方案,但是仍然没有摆脱悖论。以莱特、布勒斯和海克为代表的新弗雷格主义提出新的修正方案来拯救弗雷格的矛盾。莱特重新发现《算术基础》中的休谟原则,并在此基础上提出新逻辑主义的主张;布勒斯受公理集合论“限制集合大小”思想的启发,提出新公理Ⅴ方案;海克受罗素“禁止恶性循环原则”的启发,提出直谓二阶逻辑方案。

弗雷格为何不会成为新弗雷格主义者

新弗雷格主义是二十世纪兴起的一个新学派,致力于复兴弗雷格的逻辑主义。他们的主要方法是取消或修改弗雷格系统中不一致的公理或理论。其中,对学界影响较大的一类主张是取消弗雷格的外延理论和基本规律V,主要代表人物有Crispin Wrihgt和Richard Heck。然而,根据对弗雷格文本的考察,弗雷格本人不会赞成这样的解决途径,这与他的算术哲学观不相符。因为按照新弗雷格主义的观点将外延理论与基本规律V取消后,不但数之间的同一性不能得到解释,甚至概念间的同一性也无法得到讨论。因而,弗雷格不会是一个新弗雷格主义者。

对德沃金批评外在道德怀疑论的批评

是否存在正确答案,这对于道德和法律领域来说都是难题。外在道德怀疑论认为所有的道德主张都是错的。德沃金基于休谟原则和自相矛盾这两个理由批评外在道德怀疑论。但是他对于这两个理由都没有提出充分的证明。德沃金认为,休谟原则是明显成立的,因此并没有试图证明休谟原则。德沃金提出了对道德领域的一个定义,以此来说明外在道德怀疑论的主张仍然属于道德主张,因此它是自相矛盾的。但是,一方面我们可以提出其他关于道德领域的定义来说明外在道德怀疑论不属于道德主张,另一方面可以利用定义来说明外在道德怀疑论主张属于道德主张的做法有循环论证的嫌疑。本文试图对休谟原则和自相矛盾这两个批评外在道德怀疑论的理由提出更充分的论证。