伽罗瓦的代数方程思想

目的探讨在代数方程根式可解性理论的发展中,伽罗瓦(Evariste Galois,1811—1832)的代数方程理论思想发展过程。方法采用历史考察与数理分析法。结果伽罗瓦是通过引进"伽罗瓦群"、"正规子群"、"置换群"等概念开始建立他的理论,并且找出了根式扩张塔和可解群之间的对应关系,利用这种对应关系最终解决了代数方程根式可解性理论这一难题。结论伽罗瓦继承了拉格朗日(J.L.Lagrange1,736—1813)问题转化的思想,并且把这一思想进行发展,使得人们对方程根式解问题的研究进入到对"结构"观念的研究,导致了抽象代数学科的诞生;伽罗瓦的研究思路是通过继承和发展前人的思想成果得出来的。

伽罗瓦理论的传播与发展

19世纪长期研究的群是有限置换群 ,它不是一个抽象的群 ,但对抽象群的研究具有重要的启发意义。本文简要概述了置换理论及置换群发展的历史过程 ,探讨了伽罗瓦理论的传播及置换群独立发展的情况 ,并且重点介绍了若尔当对于伽罗瓦理论的伟大贡献。

一种基于伽罗瓦域的密码系统

研究GF(pn)多项式求逆运算的特性,给出了多项式求逆的方法,并建立可交换的加密算法。该算法安全性高,适合于数据的分组加密。最后,对该密码系统的安全性进行了分析。

伽罗瓦连接在构造拟阵中的应用

如何将处理数据的有效方法应用到构建拟阵结构的研究中,使拟阵论的成果以更多方式应用到数据处理的研究中,是目前拟阵论研究需要解决的问题之一。为此,将处理数据的有效工具形式概念分析理论中的基本运算—伽罗瓦连接作为桥梁,给出伽罗瓦背景的定义,得到由1个拟阵建立伽罗瓦背景的方法。进而得到,在拟阵同构和伽罗瓦同构意义下:在拟阵族与伽罗瓦背景族之间存在着一一映射;在拟阵族和伽罗瓦连接族之间存在着一一对应,从而发现拟阵与伽罗瓦连接之间的关系。用此关系得到伽罗瓦连接构造拟阵的2种方法。通过与已知的一些相关方法比较,发现该方法的优势。此外,用生物实例说明这2种方法在生物信息数据处理中的作用。

反拟阵、凸几何与伽罗瓦连接的关系及其应用

通过揭示凸几何与由对象集和属性集组成的信息系统的伽罗瓦连接之间的对应关系,得到信息分类的反拟阵和凸几何方法,并将其应用于生物分类中。首先在一个信息集合组成的凸几何上,以构造方式得到两种不同信息系统的伽罗瓦连接;其次得到由一个信息系统的伽罗瓦连接产生唯一凸几何的条件,再分别得到利用反拟阵和凸几何方法进行信息提取的思路;最后利用上述方法对一个生物信息系统实例进行了成功的分类。

试论伽罗瓦的群结构思想

本文着重论述了伽罗瓦数学思想体系中过去没有得到充分重视的一个方面即关于建立“按数学运算归类”的群结构思想。这是伽罗瓦提出的具有重大意义的科学预见。以此为核心，他为近世代数学的兴起奠定了思想基础。对此，本文试从群结构观念历史渊源的一个视角，探讨伽罗瓦的群结构思想方法，分析“按数学运算归类”的思想实质。我们认为，这作为对伽罗瓦数学思想体系的进一步认识和完善，对于开展现代“数学结构”历史渊源的研究，都是有益的。

关于伽罗瓦理论中几个问题的讨论

讨论了伽罗瓦理论中的几个问题 ,给出了伽罗瓦群关于子群的陪集分解定理和实数域的真子域上的质数次既约多项式的可解性与其零点分布之间的关系 ,改正了原文献中的一些错误 ,给出了相关定理的正确形式 .

中学生数学家——伽罗瓦

伽罗瓦的一生是短暂的，也是悲惨的，但他留下的数学成果有着深远的影响．后来有人这样评价伽罗瓦：他的过早离去是数学界的损失，也是科学界的损失．

基于混沌和伽罗瓦域运算的新型彩色图像加密算法

提出一个基于混沌和伽罗瓦域运算的新型彩色图像加密算法.该算法采用伽罗瓦域上扩散与置乱相嵌-颜色通道间置乱-双向扩散的加密结构,对长宽一致的彩色明文图像进行加密.在伽罗瓦域上的加密操作阶段,对图像进行颜色通道分离,利用SHA-512算法和提出的改进Logistic映射生成3个可逆矩阵,在伽罗瓦域上将各颜色通道矩阵与可逆矩阵进行复杂矩阵乘法运算,中间相嵌3次置乱运算.在置乱阶段,利用置乱序列将颜色通道位置进行搅乱.在扩散阶段,利用改进Logistic映射生成混沌序列对图像进行正向和逆向的扩散操作,进一步提高算法的安全性.安全性能分析结果表明该算法具有极大的密钥空间、良好的统计特性、极强的密钥敏感性、明文敏感性,可有效抵抗多种攻击.

一种定义于伽罗瓦域的信号函数

信号监控是一种有效的控制流错误检测技术 ,采用不同的信号函数所引起的性能开销和存储器开销差别很大 .为了降低开销 ,提出了一种新的用于控制流错误检测的信号函数 ,该信号函数定义于伽罗瓦域中 .给出了分配状态代码和计算状态信号的算法 .该算法不是用穷尽搜索的方法而是通过矩阵变换给状态赋值 .在该算法中 ,对于每一个状态转换 ,信号的计算只需要一次加法操作和一次乘法操作 .以前的信号函数须实现为二维表格 ,而给出的信号函数只需实现为一维表格 ,其开销比以前的信号函数低 .还给出了在保证错误检测延迟一定的条件下进一步降低开销的方法 .该信号函数在硬件和软件上都可以有效地实现 .

伽罗瓦域GF(2~8)上高矩阵为密钥的Hill加密衍生

针对传统的Hill加密算法仅是利用伽罗瓦域GF(p)上可逆的数字方阵作为密钥矩阵与明文向量作模p乘法进行加密运算,提出了一种新的在伽罗瓦域GF(2)[x]/p(x)上以多项式高矩阵作为密钥矩阵的Hill加密衍生算法。在Hill加密衍生算法中,明文向量为明文字符对应的多项式构成的多项式向量,随机选取密钥矩阵的一列作为加密时的平移增量,在GF(2)[x]/p(x)上进行密钥矩阵与明文向量的模8次不可约多项式p(x)的乘法和加法,然后获得元素为多项式的密文向量,从而实现明文信息加密。当攻击者在不知道p(x)、密钥矩阵以及随机抽取的平移向量的情况下由密文破解得到明文的难度更大,从而提高了伽罗瓦域GF(2)[x]/p(x)上Hill加密衍生算法的抗攻击能力。

伽罗瓦连接不动点的并行算法

为了提高伽罗瓦连接所有不动点的计算速度和效率,在计算伽罗瓦连接不动点的串行算法(CbO)基础上,通过处理所有不动点的不相交子集方法,将串行算法并行化,启动P个处理器同时并行运行,使每个处理器都并行地计算它的所有不动点,证明了此算法的正确性,并分析了它的渐近式复杂性。实验给出了算法在各种数据集上的效率及可扩展性,表明PCbO并行算法效率优于其串行算法。

伽罗瓦联络格的特性

对于任意完备格P,Q,研究Γ(P,Q)是从P到Q所有伽罗瓦联络形成的集合。在逐点序的条件下,Γ(P,Q)是一个完备格。讨论Γ(P,Q)性质中的格理论,特别是Γ(P,Q)和完备格Q在代数模和分配性之间的相互关系。伽罗瓦联络的特性对信息理论研究具有一定的理论意义。

伽罗瓦理论的反思

本文通过伽罗瓦理论的反思,旨在揭开伽罗瓦是如何在拉格朗日等数学家研究的基础上,扬长避短,作出伟大发现的,进而分析了伽罗瓦理论被冷落的种种原因.这些经验教训,对于我们今天的教育、科研等都有重要的参考价值.

因式分解与伽罗瓦理论

伽罗瓦关于代数方程求解的工作被视为现代代数学的起点,但他的工作以晦涩而难以理解。通过对伽罗瓦原始文献的分析讨论,发现若以因式分解的数学思想为切入点,则伽罗瓦工作的最核心部分是建立起了因式分解与群分解的对应关系。因式分解的过程实质上是方程的系数域不断扩张的过程,伽罗瓦利用这一过程产生的方程的群的分解来反映这种扩张,使得对方程的研究变为了对群的研究,从而开启了19世纪代数学革命的序幕。

对埃米尔·阿廷《伽罗瓦理论》的历史分析

用抽象代数来处理伽罗瓦理论由阿廷完成,他重视线性代数方法,成功绕过本原元素定理而证明了伽罗瓦理论的基本定理。文章在已有研究的基础上,分析了阿廷成功解读伽罗瓦理论的多种因素及其著作《伽罗瓦理论》的背景、结构及定位。在伽罗瓦理论的抽象化历程中,阿廷受到戴德金、希尔伯特、施泰尼茨等人的影响,这说明代数学在19世纪和20世纪发展环境的变化是阿廷《伽罗瓦理论》成功的前提。最后,文章调查了《伽罗瓦理论》对现代伽罗瓦理论专著及代数学教材的影响。

关于伽罗瓦数域的正规整基

设 Q 是有理数域,K 是 Q 的 n 次伽罗瓦扩域,再设 K 在 Q 上的伽罗瓦群 Gal(K/Q)={τ_1,τ_2,…,τ_η},如果存在 K 中的代数整数α,使{τ_1(α),τ_2(α),…,τ_n(α)}是 K 的整基,则称 K 具有正规整基。冯克勤同志在文[1]中指出“一个伽罗瓦数域何时具有正规整基,这个问题也有一定的理论价值”.本文给出了解决这一问题的一个方法.

浅析L伽罗瓦连接

通过猜想以定理形式提出了L伽罗瓦连接与伽罗瓦连接之间的关系,在此基础上加以证明,从而得出了伽罗瓦连接是L伽罗瓦连接的特殊情况。将伽罗瓦连接扩展到更一般的情况,为模糊概念格的研究提供了又一重要的结论。再对L伽罗瓦连接进行研究,引入了3对算子,以其中1对为例进行证明算子是满足L伽罗瓦连接的。

从五次方程根式求解到伽罗瓦理论及其数学哲学意蕴

关于群论诞生的这一时期,许多文献都已经做了大量的研究.作者将主要从数学家们的著作出发,归纳总结了从探讨一元高次方程的求根公式出发,如何一步一步演化到抽象代数诞生的,并揭示这一段数学史所蕴涵的数学哲学思想.

伽罗瓦理论的RMI原则分析

本文用RMI原则(关系映射反演原则)分析了伽罗瓦的代数方程可解性理论的方法。