体积勾股定理的证明

用Cayley-Menger行列式证明:当四面体满足“对棱相等、或对棱的平方和相等”时,存在体积勾股定理:“该四面体的体积的平方等于所围的四个面外凸的直角四面体体积的平方和”,其公式为:V2ABCD=V2ABC4+V2ABD3+V2ACD2+V2BCD1(标注见:图1)。

证明正交四球间15个垂心球及距离公式的算法——四维体积勾股定理的应用(公式(三))

1球至4球正交球心构成的垂心四面体,存在4点、6线、4面、1体15个垂心球,这15个垂心球间的105个间距,除了可用2点坐标的距离公式计算外;还可以摆脱坐标直接利用垂心球间距公式计算。并且证明了同态重心与垂心间距为2球半径的平方差。

证明正交四球间15个重心球及距离公式的算法——四维体积勾股定理的应用(公式二)

1球至4球正交球心构成的垂心四面体,存在4点、6线、4面、1体15个重心球,这15个重心球间的105个间距,除了可用2点坐标的距离公式计算外;还可以摆脱坐标直接利用重心球间距公式计算。

垂心四面体4态的正弦余弦定律及其换元算法——四维体积勾股定理的应用(公式六)

正交4球心组成的垂心四面体,仅用四球半径和垂心球间距公式。证明了3组正弦定理、5组余弦定理;各2组2面角的正弦定理、余弦定理;且证明了同构于球面三角学的正弦定律和余弦定律。垂心四面体4态换元算法使得计算更为直观和简便。

证明以正交4球半径为4元数欧拉线的算法——四维体积勾股定理的应用(公式四)

正交4球心组成的垂心四面体,在欧氏3D坐标系中,仅用四球半径,按勾股4态的4个共球半径、球心坐标、球心距垂心间距均有各自的同构公式。

证明正交4球6平面及四维垂直的四维空间算法——四维体积勾股定理的应用(公式七)

在欧氏3D坐标系中,通过正交4球空间的6平面及其旋转,证明正交4球空间即为四维相互垂直的四维空间。

垂心四面体的勾股4态15个外接球半径、外心坐标及距离的算法——四维体积勾股定理的应用(公式九)

用正交4球半径的4元数,证明:垂心四面体的勾股4态的15个外接球半径同构公式、外心坐标同构公式;及其用外接球半径计算外心距离公式;以及12组棱角、6组面角,它们的互补对角的正弦余弦的代数值公式。

正交4球面8交点2共球心与欧拉线关系及Ln猜想——四维体积勾股定理的应用(公式八)

证明正交4球,球面内凹、外凸各4点有各自的共球心及半径,其各自球心坐标的3个分坐标代数值都相同,并得出2球心间距公式;且证明随相同维数的变化,2球心与欧拉线各点具有共点、共线、共面、共体的区别。图示欧拉线与2球心连线约交于H垂心点;根据4个肥皂泡相接,提出5个拉格朗日点的猜想。

证明垂心四面体的内切球、4面和6棱旁切球半径坐标的算法——四维体积勾股定理的应用(公式五)

正交4球心组成的垂心四面体,在欧氏3D坐标系中,仅用四球半径,计算内切球、4面6棱10个旁切球半径和球心坐标的同构公式,同时得出内切球球心与外接球球心的间距公式。

k维单形上的广义余弦定理

将余弦定理推广到k维单形(三角形在高维空间的类似物)上去,旨在为余弦定理和作者的建立在四面体上的以面积为关注点的余弦定理(任何四面体的任一面的面积平方等于其余各面的面积平方和,再减去其中每两个面的面积与它们所成的内二面角的余弦之乘积的2倍)提供一揽子解决方案.以此证明:余弦定理从此不再是个初等几何问题.

论勾股四态、以及正交球心间同构的场方程

1球至4球正交构成点、线、面、体的勾股4态,对其4态15种正交球心间场,建立了基于各球半径的正交球心间场同构方程行列式,且以此可推广至任意有限高维。