随机环境中的分枝随机游动的若干极限定理

假设{Zn;n=0,1,2,…}是一个随机环境中的分枝随机游动(即质点在产生后代的过程中,还作直线上随机游动),ξ={ξ0,ξ1,ξ2,…}为环境过程.记Z(n,x)为落在区间(-∞,x]中的第n代质点的个数,fξn(s)=∑∞j=0pξn(j)sj为第n代个体的生成函数,mξn=f′ξn(1).证明了在特定条件下,存在随机序列{tn}使得Z(n,tn)(∏n-1i=0mξi)-1均方收敛到一个随机变量.对于依赖于代的分枝随机游动,仍有类似的结论。

随机环境中依赖年龄的分枝过程

考虑随机环境中依赖年龄的分枝过程.环境ξ=(ξ_0,ξ_1,…)是平稳遍历的随机变量序列.给定环境ξ,该过程是非齐次的Galton-Watson过程,第n代粒子的寿命分布为R_+上的概率分布G(ξ_n),每个粒子根据N上的概率分布p(ξ_n)独立地产生后代.令Z(t)表示t时刻存活的粒子数.首先,以一个函数方程给出了在环境ξ下Z(t)的条件概率母函数的性质;通过与一个嵌入分枝过程作比较,得到了过程几乎必然灭绝的判别准则.然后,得到条件均值E_ξZ(t)和整体均值EZ(t)的表达式,并通过研究随机环境中的更新过程,给出了两均值的指数增长率.