巧用倒数关系解题例举

如果两个数的乘积等于1，那么这黟个数就孚为倒数。 a·b=1，则a，b互为倒数，亦就是a=1/b（或b=1/a）。在数学学习中，倒数关系随处可见。如果我们能根据一些题目的条件和特点，通过“挖潜改造”，巧妙利用倒数关系解题，就能使“山重水复”变“峰回路转”，达到简捷之目的。下面试举几例：

不容忽略的倒数关系

新版高二数学（上）有一道练习题：若ab〉0且a〈b。

几何问题中的线段倒数关系

先看一个问题：如图1，工地上两根电线杆相距l米，分别在高为4米、6米的A、C处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD与BC的交点E距离地面的高度EF．

三个数间倒数关系在探究性学习过程中的拓展

在《中小学数学》(初中版)2019年第10期“三个数间倒数关系的推广与应用”一文中,师生观察2×3=6,发现1/2=1/3+1/6所存在的一种倒数关系,可以在义务教育阶段,跟进数的扩充,开展探究性学习.在自然数、正分数、负整数、负分数、有理数、代数式、无理数、实数的八个不同教学阶段持续推广,判断这种倒数关系具有一般性:“三个不等于零的实数,如果较小的数加上1等于次大的数,且较小的数乘以次大的数的积等于较大的数,那么较小的数的倒数等于次大的数的倒数加上较大的数的倒数的和.”

“培养核心素养,渗透数学美育”系列研究案例(五) 妙用三平行线段法证明“三倒数关系”

具有特殊位置关系的三条平行线段,首尾两条平行线段长度的倒数和等于中间第三条平行线段长度的倒数,以此美妙的“三倒数关系”作模型,可将证明三线段的长度满足“三倒数关系”的问题,转化为构造三平行线段的问题。此研究过程有利于培养学生逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养,渗透数学规律的简单美、统一美。

巧借割代换 妙解数学题

利用平方关系“sin2a＋cos2a=1”，“1＋tan2a=sec2a”，“1＋cot2a=csc2a”进行三角换元来解题是大家所熟知的，利用倒数关系“tanacota=1”进行三角换元则鲜有人提及。本文枚举数例说明利用倒数关系“tanacota=1”进行三角换元在解题中同样大有可为。

均值不等式解题技巧与策略

评注：由于不等式是分式形式，上述三种证明方法都是巧用1作代换，构造倒数关系，使乘积为定值，从而取得最值．

证明不等式的几种常用配对法

在证明某些不等式时,可以根据已知式的结构特征,配上一个与它有内在联系的对偶式,然后通过适当运算,而使问题得到解决.下面给出构造对偶式的几种常用方法.1

关于三角函数值的“知一求五”——有感于2010年高考试题中的“源于课本,高于课本”

每年的数学高考试题中都有＂源于课本＂的试题,其中有一类题型在2009年和2010年连续两年出现在全国Ⅱ卷的试题中,对这类多个省份曾经考过的题型,可利用教材中的例题结论直接求得,把这个例题的结论做适当变形作为公式应用,会大大节省考试时间.

几个有用的“倒数和”关系式

除电阻的并联外，物理学在其它方面也有几个满足类似“倒数和”的关系式．

关系式1/a+1/b=1/x的几何特征及其应用

这是一个很有价值的命题，在解决具有倒数关系的问题时，可联想其几何模型，通过构造图形，实现元素间等价转换，将其内隐的关系外显出来，从而达到快速求解．

角平分线与两邻边的美妙关系探究

由特殊的120°角的角平分线出发,研究一般角的平分线与两邻边的关系,探究发现一般规律,以培养学生逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养,在教学中渗透数学规律的简单美、统一美。

把握特征,巧解方程

同学们在解一元一次方程时,一般可按照课本中的几个步骤进行.但对于一些特殊的方程,我们应因题而异,灵活运用某些解题技巧,从而提高解题速度。下面举例说明求解一元一次方程的几种常用技巧.一、巧用倒数关系,例1解方程3/4[4/3(1/2x-1/4)-8]=3/2x+1.

分析特点巧解分式方程

一、巧用倒数关系 例1 解方程:(2x+10)/x+x/(2x+10)=145/12。 分析 观察方程,左边两个分式互为倒数,右边145/12=12+1/12,12与1/12也互为倒数。由此特点可巧解方程。 解 原方程变形为(2x+10)/x+x/(2x+10)=12+1/12。∴(2x+10)/x=12,或(2x+10)/x=1/12。 解得x_1=1,x_2=-120/23。