K[G,σ]上分次扩张的子环与超环

设V是除环K的全赋值环,G是一个有纯锥P的加群,σ:G→Aut(K)是一个群同态。假设G在K上的斜群环K[G,σ]有左商除环Q(K[G,σ])。令A=■_(u∈G)A_(u)X^(u)是V在K[G,σ]上的一个分次扩张。本文对A的子环和超环进行了研究,证明了A的子环和超环构成的集合与相应群某些锥的集合之间有一个一一对应关系。

Q^((n))的纯锥与斜群环K[Q^((n)),σ]上的平凡分次扩张

设V是除环K的全赋值环,且V≠K,Q是有理数域,σ:Q^((n))→Aut(K)是一个群同态,假设Q^((n))在K上的斜群环K[Q^((n)),σ]有左商环Q(K[Q^((n)),σ])。本文首先对Q^((n))的纯锥进行了完全地刻画,然后用它对K[Q^((n)),σ]上的平凡分次扩张进行了刻画。

K(Z^((2)),σ)上的高斯扩张的性质

设V是除环K上的全赋值环,V≠K,Z是整数加群,Aut(K)是K的自同构群,σ∶Z^((2))→Aut(K)是一个群同态.设K(Z^((2)),σ)是Z^((2))在K上的斜群环的左商除环,D=K(X^((1,0)),X^((-1,0));σ^((1,0)))是斜罗朗多项式环K[X^((1,0)),X^((-1,0));σ^((1,0))]的左商除环.设R是V在K(Z^((2)),σ)上的高斯扩张,B=R∩D[X^((0,1)),X^((0,-1));σ^((1,0))],证明B是斜罗朗多项式D[X^((0,1)),X^((0,-1));σ^((1,0))]环上的分次扩张.

K[Z^((n)),σ]上的分次扩张

设V是除环K的全赋值环,Aut(K)是K的自同构群,Z是整数加群,σ:Z^((n))→Aut(K)是一个群同态。K[Z^((n)),σ]是Z^((n))在K上的斜群环,K(Z^((n)),σ)是K[Z^((n)),σ]的商除环.设单同态i:Z_((n-1))→Z^((n)),将Z_((n-1))自然地嵌入Z^((n))的前n-1个分量,则τ=σ°i:Z_((n-1))→Aut(K)是一个群同态,此时斜群环K[Z_((n-1)),τ]可以自然地看作是K Z^((n)),σ的子环.令D=K(Z_((n-1)),τ),则D是K[Z_((n-1)),τ]的商除环.令Y=X^((0,0,…,0,1)),θ=σ(0,0,…,0,1).假设A是V在K Z^((n)),σ上的分次扩张,J g(A)是A的分次Jacobson根,则A_(Jg(A))是V在K(Z^((n)),σ)上的高斯扩张.假设A_(Jg(A))∩D=S_(0),A_(Jg(A))∩D Y,^(Y-1);θ=B,可以得出B是S_(0)在D Y,Y^(-1);θ上的分次扩张.

Z^(2)上的纯锥与K[Z^(2),σ]上的平凡分次扩张

令Z为整数加群,σ为Z(2)到除环K的自同构群Aut(K)的群同态,K[Z(2),σ]为Z(2)上的斜群环。假定K[Z(2),σ]有左商环K(Z(2),σ)。首先,给出Z(2)上纯锥的完全刻画;然后,证明了Z(2)上的纯锥的集合和K[Z(2),σ]上的平凡分次扩张的集合之间有一个一一对应的关系;最后,对K[Z(2),σ]上的平凡分次扩张进行完全的刻画。

Q上的分次映射与K[Q,σ]上的(e)类分次扩张

令σ为有理数加群Q到除环K的自同构群Aut(K)的群同态,K[Q,σ]为Q上的斜群环,V是K上的全赋值环,K(Q,σ)是K[Q,σ]的左商环。本文对Q上的分次映射和K[Q,σ]上的(e)类分次扩张进行完全刻画。

K[x_1,x_2;x_1^(-1),x_2^(-1)]上的分次扩张

设V是域K上的一个全赋值环,B1=i∈ZAi,0Xi1,B2=j∈ZA0,jXj2分别是K[x1,x-11],K[x2,x-12]上V的分次扩张,令A=i,j∈ZAi,jXi1Xj2是K[x1,x2;x-11,x-12]的一个子集,本文对K[x1,x2;x-11,x-12]中V的分次扩张进行了刻画。对B1、B2的所有可能的情形,本文证明了A的存在性,并讨论了B1、B2在若干条件下,A的唯一性。