二项式系数与Fibonacci数四次及八次幂的关系

对满足条件n≥i≥0的整数n和i,设(ni)=n!/i!(n-i)!为二项式系数;对于任意的非负整数l,令F_l是第l个Fibonacci数,对于给定的非负整数k和正整数n,设f(k,m,n)是数列{(ni)}ni=0和{Fmk+i}ni=0的卷积,即f(k,m,n)=(n0)Fmk+(n1)Fmk+1+…+(nn)Fmk+n.运用初等数论方法证明等式f(k,4,n)=1/25(3~nL_(4k+2n)-(-1)^(k+n)4L_(2k+n)+3·2^(n+1))及f(k,8,n)=1/625(7~n·L_(8k+4n)-8·4~n(-1)^(k+n)L_(6k+3n)+28·3~nL_(4k+2n)-56·(-1)^(k+n)L_(2k+n)+35·2^(n+1)).