不相交两圆的“公共弦方程”意义的探究

一、起源 在课堂上讲解两圆相交等知识时，我出示了下列问题（人教4版高中数学必修2习题4组第10题）：求经过两圆x^2＋y^2＋6x-4=0和x^2＋y^2＋6y-28=0交点的直线方程．

峰回路转又一村——两相交圆方程相减所得直线是两圆的公共弦

在教学的过程中,碰到这样一个问题：已知圆O1：x^2＋y^2=1,圆O2：（x-1）^2＋（y-1）^2=1.

怎么求两圆的公共弦长

求两圆x^2＋y^2-10x—10y=0和x^2＋y^2十6x＋2y-40=0的公共弦的弦长． 分析：我们可以通过两圆方程相减，求出两圆的公共弦所在的直线方程，把问题转化为求直线与圆相交弦的弦长．

关于两圆公共弦和切线问题的补遗

解析几何中直线和圆是最基本也是最重要的几何图形,关于两圆公共弦所在直线方程及该直线上的点引两圆的切线长相等的问题研究也有很多.但是从完备性角度来看,还有一些问题尚未得到完美解决.本文从完备性角度探讨和整理与此相关的问题,给出完整的结论,并给出了它们的几何作图方法,最后揭示这类问题的本质.一、两圆方程作差后的直线1.问题由来我们都知道,在解析几何中,将两圆（不是同心圆,以下所说的两圆都不是同心圆）的一般方程（二次项系数相同）相减后可以得到一个二元一次方程，它表示一条直线（设为l）．

再谈两圆公共弦所在直线方程

在圆的方程的学习中,学生曾经做过这样一道题：若圆C_1：x^2＋y^2-2x-3=0与圆C_2：x^2＋y^2＋4x＋2y＋3=0相交,求公共弦所在直线的方程。有学生在问题解决后提出了新的问题：＂两圆不相交时,方程作差仍可得到二元一次方程,这个方程所反映的直线与已知两圆是什么关系？＂该问题的提出很自然且很有价值,一方面,脱离开几何直观意义的代数运算就变成了纯形式化的操作,往往容易忽视操作本身的意义;另一方面,在解析几何中，方程具有直观意义——曲线，当曲线关系与方程的运算关系之间建立不起联系时，学生就产生了困惑。

巧作公共弦证题

在几何问题中，若出现两圆相交的情形时，解题时常常先作出它们的公共弦，以此来沟通两圆之间的联系，为获得结果提供媒介．

话说公共弦在证题中的应用

在平面几何中，相交两圆的公共弦，是联络两圆的纽带和桥梁．公共弦既能巧妙地传递两圆中的相关信息，特别是传递两圆中的等角更是配合默契相得益彰，同时它还能有效地沟通题设和结论之间的联系，因此，我们要高度重视公共弦的应用，对于已给定的两个相交圆，添加辅助线公共弦是解决此类问题的关键，而那些隐含在图中的相交两圆的公共弦，

巧作公共弦 妙解几何题

公共弦是连接相交两圆的纽带，在处理相交两圆的有关问题时，巧作公共弦，往往能迅速找到解题思路，从而简便快捷地解决问题，下面举例说明．

作公共弦解题例说

当两圆相交时,往往连结公共弦作辅助线,将两个圆中的角联系起来,以便利用圆的有关性质,使问题迅速解决.对此,同学们务必要有深刻的印象.下面是从历届中考题中挑选出来的部分试题.

圆所隐藏的秘密——由公共弦方程引起两圆根轴性质的探讨

1.问题的提出 作为常见几何图形,圆自古代便寓意为＂周而复始、返本还原＂.经过千年的发展,借助阿基米德、欧几里得等西方数学家的研究和我国《周髀算经》、《九章算术》等著述,我们己对圆的性质有了大致的了解.通过测量与计算,我们可以得知圆的半径、周长、面积等因素,经由垂径定理等几何特点,我们几乎对圆的每一个性质都了然于心.

作公共弦解题二例

当两圆相交时,往往连结公共弦作为辅助线,将在两个圆中的角联系起来,以便利用圆的有关性质,将问题迅速解决.对此同学们务必要有深刻的印象.

关于两圆公共弦方程的研究及应用

直线与圆,圆与圆的位置关系是历年高考数学试题的重点内容,也是考查考生数形结合思想、运算能力,逻辑思维等能力的有效载体.本文通过对两圆公共弦所在的直线方程的研究,并给出求解公共弦方程的几种解题方法。

对两圆“公共弦”方程的反思

学习圆与圆的位置关系时，在人教版教材129页例3中，判断两圆的位置关系采用两种方法，第一种方法是用代数法判断，

由相交两圆“公共弦”引发的思考

学习圆与圆的位置关系时，在人教版教材129页例3中，判断两圆的位置关系采用两种方法，其中第一种方法是用代数法判断．在这种方法中联立方程组时先用两圆方程相减得到一个二元一次方程，方程表示一条直线，

圆锥曲线焦点弦为直径的圆的一个性质

笔者在研究圆锥曲线时，发现以圆锥曲线任意两焦点弦为直径的两圆的公共弦所在直线的一个性质，现介绍如下．

圆的切线方程与切点弦方程关系探究

解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题,是数形结合思想的重要应用。直线与圆的位置关系的判定中有几何法和代数法之分,几何法是通过圆心到直线的距离与圆的半径比大小,代数法是联立直线与圆的方程,通过方程组解的个数来判断直线与圆的位置关系。通常情况下我们不探讨这两种方法之间的联系,特别是在学习直线与圆的位置关系时我们并不强调位置发生变化时直线方程之间有什么联系。

一个有用的圆锥曲线弦的方程

本刊93年第2期《一个有用的截距不等式》一文,用一个不等式解决了一类涉及圆锥曲线上两点成轴对称的高考题,确实使人耳目一新。本文试图从此两点及它的对称轴所在的直线方程出发,来解决此类问题,同样显得简捷明快。设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1上存在不同两点A、B,若AB中点为M(m,n),则C关于M对称的曲线C′的方程为:(x-2m)~2/a^2+(y-2n)~2/b^2=1。显然,AB是C与C′的公共弦,C-C′得AB所在直线方程为: b^2mx+a^2ny-b^2m^2-a^2n^2=0 (Ⅰ)而线段AB的垂直平分线,即A、B两点的对称轴方程: