新逻辑主义的困境与二阶分层概括

由二阶概括公理与公理V所导致的悖论沉重地打击了弗雷格的逻辑主义。罗素的直谓方案和蒯因的分层方案分别可以看作是逻辑主义的延续。上世纪80年代兴起的新逻辑主义把皮亚诺算术建立在二阶概括公理与休谟原则的基础上。但是休谟原则遭到诸多质疑。赫克和博格斯证明了二阶直谓概括公理与公理V的一致性。然而,在遵循弗雷格关于"概念先于外延"这一哲学观点的前提下,不能从二阶直谓概括公理和公理V推出休谟原则。这种困境可以在蒯因分层方案的框架下得到解决。不仅可以证明二阶分层概括与公理V相对于蒯因NF的一致性,而且可以证明从二阶分层概括与公理V推出休谟原则。

内涵的《算术基本规律》

罗素在《算术基本规律》中所发现的悖论是由二阶逻辑的概括公理和公理V造成的,其根源在于,弗雷格持有两个相互冲突的哲学信条:"数的给出包含着概念的断定"和"数是独立自主的对象"。为了在"对象"和"概念"之间建立一一对应,可以把谓词的涵义看作"概念",把专名的涵义视为"对象",谓词的涵义的外延变成专名的涵义,由此可在谓词的涵义和专名的涵义之间建立一一对应。据此思路,设计了一个模态的形式系统IG(Intensional Grundgesetze),由内涵公理V和内涵概括公理构成。最后证明:IG是一致的,并且IG可以解释Robinson算术。