抛物线上任一点均存在其一个内接正三角形的证明

1问题的提出 在一次关于抛物线内容的集体备课会上，承担主讲任务的郭老师提到了解析几何课本第121页的例3．

正方形的内接正三角形

如果一个三角形（正三角形）的三个顶点都落在一个正方形的边上，则称这个三角形为该正方形的内接三角形（内接正三角形）．

正三角形的内接正三角形的一个有趣性质

借助几何画板，笔者发现了正三角形的内接正三角形的一个有趣性质：定理如图1，设正三角形ABC的任意内接正三角形为DEF，则△AEF，△BDF，△CDE的欧拉线都是定直线．

单位圆内接正三角形顶点坐标的一个性质

设A，B，C为单位圆x^2＋y^2=1上的三个点，且△ABC为正三角形，则可设A，B，C的坐标分别为A别为A（cos a，sin a）．B（cosβ，sin βC（cos γ sinγ，．若k为整数则有如下结论：

有心圆锥曲线上任一点内接正三角形存在的条件

文[1]以介值定理为依据，运用数形结合的思想，证明了抛物线上任一点均存在其一个内接正三角形．通过类比，笔者发现，有心圆锥曲线也存在类似的结论．

单位圆内接正三角形顶点坐标的一个性质

设A，B，C为单位圆x2＋y2=1上的三个点，且△ABC为正三角形，则可设A，B，C的坐标分别为A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ）．若k为整数则有如下结论：

矩形内接正三角形的一个结论

《中学生数学》2017年3月下刊翳了文章《对一道题的另证与补充》，文中“给出一种初中水平的证法．并给出结论成立的条件”，较完美地解决了问题．然而构造正方形的内接正三角形的辅助线不易想到，且结论成立的条件不够完整，为此笔者进行了深入探究．

圆内接正三角形的另两个性质

《中学生数学》1999年第3期“数学开放题”栏目提出这样一个问题: 如图1,P是正△ABC的外接圆⊙O的BC上任一点.连结PA、PB、PC。

纠正基础数学研究中的一个错误

该文研究了双曲线的内接正三角形的一般规律,纠正了基础数学研究中存在的一个错误,解决了双曲线内接正三角形的存在性问题,并且给出了相应的计算方法。

抛物线的一个有趣性质

抛物线有许多特定的性质。本文给出它的内接正三角形的一个有趣性质。为此有命题，如图，△OAB是抛物线y^2=2px（p〉0）的内接正三角形（O为抛物线的顶点），圆I是△OAB的内切圆，动点C在抛物线上，直线CD，CE与圆I相切，且与抛物线分别交于点D、E．则：

谈谈几何概型的“局限性”

我们讨论下面一个问题：在圆内作一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率。根据几何概型的计算方法，我们用以下三种方法求解。

圆的切线的一个奇妙性质

（数学问题339）文[1]得到结果：两圆内切，从大圆内接正三角形的各顶点作小圆的切线，则其中一条切线长等于另外两条切线长之和．证明略．我们尝试把这个结果作下面推广．

用尺规作正五边形的过程及其证明

从初中开始,我们就接触尺规作图.用尺规作图可以玩出各种花样:垂直平分线、角平分线等基本图形,还可以有美妙的圆内接四边形、六边形……不久之前,看到一张动图,它用我们熟悉的尺规作出了圆内接正五边形(如图1).当时的我十分诧异,因为从小到大,我学过的尺规作图中,除了圆内接正三角形以外,都是圆内接正偶数边形.

巧用水平宽铅垂高求内接图形面积的最值

从一道矩形内接筝形面积的最大值的常规解法和水平宽铅垂高法出发,将水平宽铅垂高法迁移应用到正方形内接正三角形面积的最值、矩形内接正三角形面积的最值、直角梯形内接一般三角形面积最值.这种方法可以快速地对动点定位确定最值,从而化动为定,突破难点,简捷不俗,让人耳目一新.