本文将切比雷夫不等式:“a<sub>1</sub>≥a<sub>2</sub>≥…≥a<sub>n</sub>,b<sub>1</sub>≥b<sub>2</sub>≥…≥b<sub>n</sub>（?）（sum from i=1 to n a&...本文将切比雷夫不等式:“a<sub>1</sub>≥a<sub>2</sub>≥…≥a<sub>n</sub>,b<sub>1</sub>≥b<sub>2</sub>≥…≥b<sub>n</sub>（?）（sum from i=1 to n a<sup>i</sup>）（sum from j=1 to n b<sub>j</sub>）≤n sum from i,j to n a<sub>i</sub>b<sub>j</sub>”作如下的推广:如果{a<sub>i</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>与{b<sub>j</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>同时为单调增加或单调减少实数列,那么对于任何实数列{c<sub>i</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>有（sum from i=1 to n a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>c<sub>i</sub>）（sum from i=1 to n c<sub>i</sub>）（?）（sum from i=1 to n a<sub>i</sub>c<sub>i</sub>）（sum from j=1 to n b<sub>j</sub>c<sub>j</sub>） ……（Ⅰ） 如果{a<sub>i</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>与{b<sub>j</sub>}<sub>j=1</sub><sup>n</sup>中有一个单调增加而另一个单调减少,那么对于任何非负实实数列{c<sub>i</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>有(sum from i=1 to n a<sub>i</sub>b<sub>ii</sub>)（sum from i=1 to n c<sub>i</sub>）≤（sum from i=1 to n a<sub>i</sub>c<sub>i</sub>）（sum from j=1 to n b<sub>j</sub>c<sub>j</sub>）……（Ⅱ） 如果{c<sub>i</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>为正的实数列,那么不等式（Ⅰ）、（Ⅱ）中的等号成立当且仅当{a<sub>i</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>或{b<sub>j</sub>}<sub>j=1</sub><sup>n</sup> 中有一个是常数列。如果取c<sub>i</sub>=1(i=1,2,…,n,那么就得原来的不等式。推广后的切比雷夫不等式的证明:在第一种情形下,sum from i=1 to n sum from j=1 to n （a<sup>i</sup>-a<sub>j</sub>）（b<sub>i</sub>-b<sub>j</sub>）c<sub>i</sub>c<sub>j</sub>展开更多
文摘本文将切比雷夫不等式:“a<sub>1</sub>≥a<sub>2</sub>≥…≥a<sub>n</sub>,b<sub>1</sub>≥b<sub>2</sub>≥…≥b<sub>n</sub>（?）（sum from i=1 to n a<sup>i</sup>）（sum from j=1 to n b<sub>j</sub>）≤n sum from i,j to n a<sub>i</sub>b<sub>j</sub>”作如下的推广:如果{a<sub>i</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>与{b<sub>j</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>同时为单调增加或单调减少实数列,那么对于任何实数列{c<sub>i</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>有（sum from i=1 to n a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>c<sub>i</sub>）（sum from i=1 to n c<sub>i</sub>）（?）（sum from i=1 to n a<sub>i</sub>c<sub>i</sub>）（sum from j=1 to n b<sub>j</sub>c<sub>j</sub>） ……（Ⅰ） 如果{a<sub>i</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>与{b<sub>j</sub>}<sub>j=1</sub><sup>n</sup>中有一个单调增加而另一个单调减少,那么对于任何非负实实数列{c<sub>i</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>有(sum from i=1 to n a<sub>i</sub>b<sub>ii</sub>)（sum from i=1 to n c<sub>i</sub>）≤（sum from i=1 to n a<sub>i</sub>c<sub>i</sub>）（sum from j=1 to n b<sub>j</sub>c<sub>j</sub>）……（Ⅱ） 如果{c<sub>i</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>为正的实数列,那么不等式（Ⅰ）、（Ⅱ）中的等号成立当且仅当{a<sub>i</sub>}<sub>i=1</sub><sup>n</sup>或{b<sub>j</sub>}<sub>j=1</sub><sup>n</sup> 中有一个是常数列。如果取c<sub>i</sub>=1(i=1,2,…,n,那么就得原来的不等式。推广后的切比雷夫不等式的证明:在第一种情形下,sum from i=1 to n sum from j=1 to n （a<sup>i</sup>-a<sub>j</sub>）（b<sub>i</sub>-b<sub>j</sub>）c<sub>i</sub>c<sub>j</sub>
