例析寻求函数零点所在区间端点的思维途径

函数零点问题在近四年高考数学的解答题中连续出现.题目设问方式一般有两种,一种是根据零点的个数求参数的取值范围;另一种是讨论函数零点的个数.无论是哪种,都需要借助"零点存在定理",把问题转化为寻求在某个单调区间的存在两个不等的x1、x2,使得它们对应的函数值异号,即寻求函数零点所在区间端点.通常,函数零点所在区间的一个端点容易找到,但另一个端点却很难找.官方提供的答案简直是天外来客,考生感叹做梦也想不到!

闭区间上连续函数最值点的讨论

闭区间[a,b]上的连续函数一定能取到最大和最小值.那些点有可能是最值点呢?现行教材《微积分》一书(由马兴波主编,西南交通大学出版社出版)指出:[a.b]上连续函数的最大(小)值仅可能在区间内的极值点和区间端点处取得.我认为这种说法是不正确的.事实上有些连续函数,其最值也可以在非极值点和非端点处取得.例如函数在闭区间[3/2,6]是连续的,但是最小值是在小闭区间[3,4]上的所有点处取得。根据极值点的定义知[3,4]上的点不是极值点.函数图形如右图:上书还指出:在特殊情况下,如果连续函数在(a,b)内仅有一个极值点.而函数在该点确有极大(小)值,则函数在该点的值就是函数在[a,b]上的最大(小值).这种说法也不正确,以上面所举函数为例,从图形上看到x=2是函数在(3/2,6)内唯一一个极值点,且函数在该点确有极大值,但函数在[3/2,6]上的最大值在端点x=6取到,而不是在x=2处取到.以上两个错误产生的原因是忽视了一个事实:若是[a,b]上的连续函数在(a,b)内的一个最大(小)值点,

再谈区间端点赋值的合理性

函数的零点是函数的重要概念,特别地,由于在导函数的变号零点两侧导函数值的正负不相同,函数的单调性不相同,所以导函数的零点在解决函数的单调性中起着决定性的作用.但是有些问题,首先需要判断导函数的变号零点是否存在,这就需要借助零点存在性定理构造一个区间,使得区间端点导函数值异号,那么,有些试题答案中的区间端点为何偏偏就是那两个数据呢?取点很巧妙,方法来得很突然[1],是偶然还是另有玄机,文1给出了区间端点赋值的常见方法,本文通过几道函数与导数综合题的探析,再次给出几种取点赋值的方法.

函数f(x)在给定区间上的最大值、最小值问题的讨论

在越来越多的实际问题中,需要研究某函数在给定范围上的最大值和最小值。下面就几种常见情形讨论给定函数在给定区间上的最大值、最小值问题。一、f(x)在闭区间[a,b]上连续,讨论f(x)在[a,b]上的最大值。

探求一类绝对值函数的最值问题

文[1]研究了一道含绝对值函数的最值问题,作者利用恒成立的条件取一个中间值并结合绝对值三角不等式得出结果.本文从绝对值的概念出发,结合函数图象研究“中间值”的取法以及探讨特殊值是否一定要包括区间端点、一定是取三个特殊点等问题,与同仁探讨,请批评指正.

二次函数的“三点式”

依方程的观点,三个不共线的点确定唯一的二次函数 f(x)=ax^2+bx+c,这与'两点确定唯一的直线'类似.二次函数的某些性质,理应能通过它图象上的有关三个点反映出来.例如,由函数的单调性推知,闭区间[m,n]上二次函数的最大值和最小值必属于集合{f(m),f(n),f(b/2a)}.换言之,在解决与二次函数在闭区间[m,n]上的最值有关的问题时。

一类二次函数的最佳一致线性逼近的思想方法及其应用

在竞赛题中,经常遇到含参二次函数在有界闭区间中的最值问题,有时含的参数不止一个,直接讨论函数的对称轴与区间端点的关系,面临着很大的计算量,笔者发现这类问题的原型即为二次函数的最佳一致线性逼近,不需要高等数学中的理论,通过计算区间端点处的函数值和区间中点处的函数值得到一个关系式,再加上绝对值不等式的性质即能破解这类问题.

关于一类绝对值不等式的证明

绝对值不等式的证明是教学教材的一个难点,学生往往不知从何处入手,如何讨论,又如何进行放缩。本文讨论在闭区间上的函数的绝对值不等式的证明的一种方法,即用区间端点和中点处的函数值表示函数的系数,然后利用绝对值不等式的有关知识进行解决。例1:

二次函数在闭区间的最值问题研究

多年来二次函数在闭区间的最值问题一直是高考的热点问题,此类问题主要包括四种情况:轴定区间定(二次函数的对称轴和定义域都不含参数);轴定区间动(只有定义域区间端点含参);轴动区间定(只有二次函数的对称轴含参);轴动区间动(二次函数的对称轴和定义域区间端点都含参数).因为第一种情况较简单,第四种情况较复杂,所以考的较少,而中间两种情况考的特别多.

函数中端点最值的思考

在中学里我们便学习了一个函数给定一个区间.该函数的最值只能在区间端点处或极值点处取.最值需取端点值和极值进行比较.此知识点在高考中一般会给定一个含参不等式恒成立来求参数的范围,对此可以构造函数转化为函数的最值问题,就要对函数端点值和极值进行比较.要想取到函数的极值.则导函数等于零的这个方程定义域内要有解.然后通过比较大小确定函数最值.

一个不可缺少的条件

利用导数比较区间内点处函数值与区间端处函数值的大小,函数在区间端点处的连续性是不可缺少的条件。

一类含参数的二次函数的最值问题

本文主要研究二次函数在指定闭区间上的最大值和最小直，二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，且最大(小)直只能在闭区间的端点或二次函数的图象的顶点处取得。

2012年辽宁高考理科第21题的八种证法

在函数背景下考查不等式的证明成为高考压轴题的命题热点,此类问题可将不等式问题转化成求函数最值问题后很多都是在区间端点处取得函数最值,进而只需证明导函数在定义域内是不变号的即可,本文引用一例来解析这类题目的三种解题思想及该题的八种证法.

捡几块小石头吧！

俄国心理学家生理学家巴甫洛夫讲过一个故事:一位巴格达商人在黑暗中匆匆赶路, 忽然传来一个陌生的声音:“捡几块石头吧,这可是个难得的机会啊．”商人将信将疑,弯腰捡了几块石头放入口袋,谁知天亮后掏出来一看,原来是各种宝石。商人高兴之余后悔当时没有多捡几块!