分圆多项式与切比雪夫多项式的类比探究

分圆多项式与切比雪夫多项式是竞赛学习中的重要内容.对分圆多项式与切比雪夫多项式进行类比探究,类比作出"本分角"的定义,并对其余弦函数值的极小多项式的形式加以研究,给出了一个确定余弦函数值的最小多项式的方法,得到切比雪夫多项式的若干与分圆多项式类似的许多精巧而实用的结论,加深对切比雪夫多项式的认识.

一类三阶分圆多项式的高度

设A(n)表示n次分圆多项式的所有系数绝对值的最大值.本文在5<q<r为素数且满足r≡±3(mod 5q)的条件下,证明了2≤A(5qr)≤3.

基于代数神经网络的分圆多项式判定及学习算法

首先对MP神经元进行推广 ,给出了一元多项式代数神经元、一元多项式代数神经网络 ,设计出一类用于一元多项式二元运算的神经元模型 ,它是单输入单输出的 3层多项式神经网络 ,给出了两种用于判定一多项式为分圆多项式的神经网络模型及学习算法 ,把判定一多项式为分圆多项式转化成线性方程组求解问题 ,通过算例说明了该方法的有效性。

关于分圆多项式的一个问题

对于奇素数p和正整数n,设f(p,n)=1+p^n+p^(2n)+…+p^((p-1)n).该文证明了:如果p=1(mod4),f(p,n)必为合数;如果p=3(mod4),则当n不是p的方幂或者1时,f(p,n)必为合数.

分圆多项式系数的上限

利用将多项式分项相除的计算分圆多项式系数的简洁算法 ,证明了当p1 ,p2 ,p3(p1 <p2 <p3)为奇素数n =pα1 1 pα22 pα33时 ,分圆多项式Fn(x)的系数绝对值的一个上限为p1 -1.若p2 还对模 2p1 同余于± 1,则Fn(x)的各系数绝对值不大于 (p1 + 1) 2 .

有限域上分圆多项式

探讨有限域上分圆多项式的计算性质,并给出有限域上分圆多项式不可约的条件,最后,给出由分圆多项式求有限域上给定次数的所有不可约多项式。为有限域上不可约多项式理论的完善和应用提供一些理论依据。

求分圆多项式近似根的遗传算法

新提出的求分圆多项式近似根的遗传算法,是取m个个体,在初始群体中随机产生m个初始点,再用适应度函数1/(1+f(x))计算个体适应度,对种群进行选择、交叉、变异操作,将适应度好的个体组成下一代群体,直到达到规定近似根的个数和精度,就输出结果.该算法采用动态自适应技术、重新启动法、多项式除法等措施进行优化,可以有效地防止出现未成熟收敛问题.该算法在求分圆多项式的近似根方面是可行的,并取得比较好的效果,为判定一个多项式是否分圆提供了一种新方法.

计算机代数中分圆多项式的直接判定算法

本文利用分圆多项式的所有根是单位根的性质，直接从给定的多项式入手，提出了判定一个多项式是否为分圆多项式的算法．算法简单明了，易于实现．

有理数域上分圆多项式的不可约性

本文探讨了有理数域上分圆多项式的性质和推论,给出了n阶分圆多项式与本原n次单位根的最小多项式之间的关系,得到了n阶分圆多项式在有理数域上是不可约的结论,为有理数域上不可约多项式理论的完善和应用提供一些理论依据.

基于素数幂次阶分圆多项式环的多密钥全同态方案

传统的全同态加密方案允许对单个用户的密文进行任意计算,计算结果解密后能够得到与明文计算相一致的结果。多密钥全同态加密方案允许云服务器对多个用户的密文进行任意计算,更适用云计算的应用场景。基于公钥加密方案NTRU的多密钥全同态加密方案被称为NTRU型多密钥全同态加密方案,具有密钥和密文尺寸短、运算速度快和潜在的抗量子攻击等特性。但是,现有的NTRU型多密钥全同态加密方案存在可选的环结构少、使用的环结构容易受到子域攻击等问题。文章以NTRU型多密钥全同态加密方案LTV12为研究对象,将该方案中的2的幂次阶分圆多项式环替换为素数幂次阶分圆多项式环,密钥生成算法采用正则嵌入下的高斯分布,优化了LTV12方案,增加了可选环结构的数量,并使其免受子域攻击的危害,对其实用性和安全性具有推动意义。

F_P上分圆多项式的一个性质

给出了多项式xn-1在域FP上恰有n个根的充分必要条件.

分圆多项式及其变形的一点注记

分圆多项式的性质在密码学领域具有重要的应用,研究分圆多项式的性质具有重要的理论意义。就分圆多项式在整体函数域中的模拟及由映射的复合所诱导的动力分圆多项式进行研究。结合动力系统的思想,利用数论的方法,给出了与动力分圆多项式相关的若干性质的证明。经典分圆理论在不同的背景下具有很多相似之处,这对丰富分圆理论具有重要的意义。

分圆多项式与西格蒙德定理

(本讲适合高中)对于中学生而言,分圆多项式还是比较陌生的,但在近些年的国家集训队测试中,读者也可以看到相关的一些应用.分圆多项式在前沿数学领域起到了一些作用,如近些年有关费马素数和梅森素数的快速分解,就恰好依靠的是Φn(2)的性质.

分圆多项式在Ζ[x]中不可约性的新证明

利用对称多项式的基本原理,数论的基本知识及简单的组合公式给出了分圆多项式在有理数域上的不可约性的新证明,避免了使用Ζ[x]为唯一分解环这一结论。

分圆多项式在Z[x]中不可约性的新证明

利用对称多项式的基本原理,数论的基本知识及简单的组合公式给出了分圆多项式在有理数域的不可约性的新证明,避免了使用为唯一分解环这一结论。

关于分圆多项式的Schinzel等式

对一无平方因子的奇数ｎ＞１， 分圆多项式φｎ（ｘ） 满足Ｓｃｈｉｎｚｅｌ等式， φｎ（ｘ）＝Ｐ２ｎ，ｍ（ｘ）－（－１／ｍ）ｍｘＱ２ｎ，ｍ（ｘ）， 这里Ｐｎ，ｍ（ｘ）和 Ｑｎ，ｍ（ｘ）是整系数多项式且 ｍ｜ｎ．本文给出两个简明的公式来计算 Ｐｎ，ｍ（ｘ） 和 Ｑｎ，ｍ（ｘ） ．

一类分圆多项式的系数

利用将多项式分项相除的分圆多项式系数的简洁算法,证明了当3<q<r,q,r是素数时,2与-2不会同时出现在一个分圆多项式F3qr(x)的系数中.当r-q≡0(mod3)时,F3qr(x)的系数中没有-2出现,当r+q≡0(mod3)时;F3qr(x)的系数中没有2出现.

关于分圆多项式的系数

叫做分圆多项式(关于分圆多项式的定义和下面介绍的性质可参看[1]第七章第三节)。由分圆多项式的定义容易得到:情中d/n表示d通过n的全体正因数(包括1和n本身)。

关于分圆多项式系数的注记

自然数m称为HΓ数,如果分圆多项式Fm(x)的系数只能是0或±1.本文研究自然数m成为HΓ数的条件,证明:如果p是素数,那么1)m=15p(p>5)为HΓ数的充分必要条件是p≡±1(mod30);2)m=21p(p>7)为HΓ数的充分必要条件是p≡±1,±11,±19(mod42);3)m=33p(p>11)为HΓ数的充分必要条件是p≡±1,±7,±25(mod66).

一类三阶分圆多项式的最大间距（英文）

令g(Фn)表示分圆多项式Фn(x)的连续非零系数的最大间距.本文给出了g(Ф3·5·r)的计算公式,并计算出了Ф3·5·r(x)的最大间距的个数,其中r为大于等于7的素数.此外,我们给出了关于任意阶分圆多项式的最大间距及其个数的一个猜想.