时空分数阶对流-弥散方程组的有限元方法

时间空间分数阶对流-弥散方程组一般没有解析解,有限元方法是进行数值模拟的有效途径.先对微分方程组进行时间半离散,然后推导出固定时间层的变分公式和有限元方程组,同时给出求解有限元解的一种线性迭代算法.数值实例表明,三次有限元迭代算法的时空收敛阶分别为2-αi和4.

竞争物种的分数阶对流-弥散方程组的有限元方法

描述种群增长的分数阶偏微分方程组一般没有解析解,有限元方法是进行数值模拟的有效途径.针对两个竞争物种的非线性分数阶对流-弥散方程组,先进行时间半离散,然后运用压缩映射原理证明变分解的局部存在唯一性,同时给出求解有限元解的一种迭代算法.数值实例表明三次有限元迭代算法的时空收敛阶分别为1和4.

二维分数阶对流-弥散方程的数值解

对二维时间分数阶对流-弥散方程和二维空间分数阶对流-弥散方程分别建立了差分格式,实现了对其的数值求解。针对理想算例进行计算求解,分析了时间和空间分数阶阶数取不同值时的扩散变化规律,验证了各自所描述的时间相关性与空间相关性。同时与传统的二维整数阶对流-弥散方程的求解结果作了对比。当时间和空间分数阶阶数α与γ分别取整数时,二维时间分数阶对流-弥散方程和二维空间分数阶对流-弥散方程都与传统二维整数阶对流-弥散方程的计算结果相同,说明提出的对二维分数阶对流-弥散方程的数值求解方法是可行的。其结果对地下水溶质运移的进一步研究提供了有效的手段。

一类分数阶对流弥散方程差分方法

讨论了带有分数阶初边值问题的分数阶对流弥散方程,分别利用标准和移位的Grünwald-Letnikov分数阶算子离散方程以及边界条件中的Riemann-Liouville分数阶导数,并构造了相应的隐式有限差分格式和矩阵格式,证明了该差分格式的稳定性和收敛性。最后通过数值算例验证了其有效性。

时间空间分数阶对流-弥散方程的基本解

考虑两类时间空间分数阶对流-弥散方程,它们是由传统的对流-弥散方程推广而来(时间一阶导数用μ∈(0,1]阶Caputo导数代替,空间一阶、二阶导数分别用α∈(0,1]和β∈(1,2]阶Riesz或Caputo导数代替).它们的Cauchy问题的基本解可以通过Laplace-Fourier变换得出,其表达式可以通过适当的变形求得,并证明了其空间概率密度的性质.

考虑时空相关的分数阶对流—弥散方程及其解

本文在考虑弥散过程的时空相关性的基础上,用非局域性的处理方法,将二阶对流—弥散方程进行推广得到了分数阶的对流—弥散方程,方程中弥散项和对时间的导数被分数阶导数所代替。此方程的柯西问题的格林函数解是一分数稳定分布密度函数。由方程的稳定分布密度函数解说明了局域等效弥散系数与弥散过程有关,得出了等效弥散系数与运移尺度有关,是运移距离的幂函数的结论。这一结论从理论上解释了弥散系数的尺度效应。最后,用一实验的实测数据对所得结果进行检验,检验结果很好地说明了弥散过程中的偏态特征和“拖尾”现象,而传统二阶对流—弥散方程的高斯分布解却不能解释。因此,用分数阶的对流—弥散方程比二阶对流—弥散方程能更好的描述溶质在多孔介质中的弥散行为。

分数阶对流——弥散方程的数值求解

对严格的时间分数阶对流——弥散方程和严格的空间分数阶对流——弥散方程分别建立了差分格式,并用所建立的两个差分格式对同一理想算例进行了求解.通过对分数阶导数取不同的参数值,得到一系列结果,分析了不同分数阶导数描述的反常扩散现象及其变化规律,并和传统的整数阶对流——弥散方程的求解结果进行了对比.当时间分数阶对流——弥散方程和空间分数阶对流——弥散方程的分数阶导数的参数分别取整数值时,时间分数阶对流——弥散方程、空间分数阶对流——弥散方程和传统整数阶对流——弥散方程的计算结果相同,表明本文提出的对时间分数阶对流——弥散方程和空间对流——弥散方程数值求解方法是可行的,且整数阶对流——弥散方程是分数阶对流——弥散方程的特殊情况.和正常扩散相比,时间分数阶对流——弥散方程中分数阶导数的参数值越小,溶质扩散得越慢,表现为拖尾分布:空间分数阶对流——弥散方程中分数阶导数的参数值越小,溶质扩散得越快,表明空间的非局域性相关性越强.

变系数空间分数阶对流-扩散方程的隐式差分逼近

在一般对流-扩散方程的基础上,研究了变系数空间分数阶对流-扩散方程的隐式差分逼近格式.利用Grünwald改进型公式和时间、空间一阶差商公式对分数阶导数进行离散,提出了一个计算有效的隐式差分近似.利用分数阶离散系数的特点和Lax等价定理,证明了这个差分格式是无条件稳定的,并且证明了它的收敛性.最后通过数值例子验证了提出的差分格式是可靠和有效的.

两边空间分数阶对流-扩散方程的一种加权显式有限差分方法

考虑两边空间分数阶对流-扩散方程的初边值问题,基于Grünwald公式和移位Grünwald-Letnikov公式,提出一种加权显式有限差分解法.利用傅里叶变换和特征值法,得到差分格式的稳定性.然后使用最大模估计法证明在相同的条件下,所提出的差分格式是收敛的.最后通过数值例子说明所提出的差分格式是可靠和有效的,并对方程的数值解与精确解进行比较,验证了文中的理论结果.

变系数空间分数阶对流-扩散方程的有限差分解法

考虑了一个变系数空间分数阶对流-扩散方程.这个方程是将一般的对流-扩散方程中的空间二阶导数用β(1<β≤2)阶导数代替.提出了一个隐式差分格式,验证了这个差分格式是无条件稳定的,并证明了它的收敛性,其收敛阶为o(τ+h),最后给出了数值例子.

一维对称空间分数阶对流弥散方程的数值解

探讨了有限区域上一维对称的空间分数阶对流弥散方程的数值求解问题.基于Grunwald-Letnikov分数阶导数的定义,推导了一个有限差分格式,并讨论了分数微分阶数、弥散系数及平均流速对数值解的影响.

Feller算子下的分数阶对流-弥散过程与Levy分布

建立了Levy-Feller分数阶扩散方程,利用Fourier变换及其逆变换,给出其Cauchy问题的带有分数阶导数阶数α(1<α≤2)和扭曲参数θ(|θ|≤α-2)的Levy平稳概率密度函数表示的Green函数解。结果表明,在非均匀(θ≠0)扩散过程中,主要由扭曲参数导致了最大浓度位置的偏移和拖尾现象;当α→2,即θ→0时,问题的解与相应整数阶对流-弥散方程的解一致。

带Robin边界条件的分数阶对流-扩散方程的数值解法

本文对带Robin边界条件的分数阶对流-扩散方程进行了数值研究.本文利用移位Grünwald公式对Riemann-Liouville空间分数阶导数进行离散,在此基础上建立一种隐式有限差分格式,并讨论了它差分解的存在唯一性,然后分析了该格式的相容性、稳定性和收敛性,最后通过数值算例验证格式是可靠和有效的.

空间分数阶对流-扩散方程的有限差分法及误差分析

针对一类分数阶对流扩散方程,给出了分数阶Cranck-Nicolson数值求值方法,并进行了收敛性分析和对空间方向的外推研究,给出了阐述理论分析结果的2个数值实验.

非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程的全隐式有限差分格式

针对非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程的初边值问题,提出一种全隐式有限差分格式.首先,分别对Riemann-Liouville型变时间分数阶导数算子和Riemann-Liouville型变空间分数阶导数算子和广义Riesz分数阶导数算子进行离散化处理;然后,通过离散的能量方法证明全隐式有限差分格式的稳定性和收敛性,并验证其收敛阶为O(τ+h);最后,通过数值算例检验该方法.试验结果表明:全隐式有限差分格式求解非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程初边值问题是可行和有效的.

时间分数阶对流-扩散方程的局部间断Galerkin谱方法

提出了求解时间分数阶对流-扩散方程的局部间断Galerkin谱方法.在空间方向上,按局部间断Galerkin谱方法进行离散,时间方向上,对α阶Caputo时间分数阶导数按有限差分格式进行离散,非线性项和源项采用Chebyshev-Gauss-Lobatto插值,从而得到有限差分/局部间断Galerkin谱全离散格式,并且给出了其全离散格式线性情形下的稳定性和收敛性分析.最后给出了一些数值算例,比较了单区域方法和局部间断Galerkin谱方法的数值结果,得出后种方法更具优势.还通过对比Gorenflo-Mainardi-Moretti-Paradisi(GMMP)和有限差分这两种全离散格式下的数值结果,得出有限差分格式在某些问题中比GMMP格式精度更高,收敛速度更快.

非标准有限差分法求解分数阶对流-扩散方程

对空间分数阶(β阶(0<β≤1))对流-扩散方程给出非标准有限差格式.对方程中导数项采用比传统较为复杂的与步长有关的函数φ作为离散后的分母.该种差分格式是稳定和收敛的,对差分方程的数值解和数值误差进行特征分析.数值算例表明该方法有很高的精度,是一个实用的方法.

空间-时间分数阶(2+1)-维Maccari方程组的新精确解

通过扩展的试探方程法去求解空间-时间分数阶(2+1)-维Maccari方程组{i D_(t)^(α)q+D_(ττ)^(2β)q+qr=0 D_(t)^(α)r+D_(ρ)^(η)r+D_(τ)^(β)(|q|^(2))=0的精确解,得到了5组新的精确解.这些解分为3类,即有理数解、双曲函数解、指数函数解,极大地丰富了解系,并且这些解在光纤学、量子力学、海洋学和光学等科学中也具有多种应用.

一类带有Robin边界条件的分数阶对流弥散方程的差分方法

考虑了一类带有Robin边界条件的分数阶对流弥散方程,给该方程建立了一种隐式有限差分格式,然后证明了该格式的解的存在唯一性、稳定性和收敛性,最后,用数值例子验证了差分方法的有效性。

一维均质与非均质土柱中溶质迁移的分数微分对流-弥散模拟

分数微分对流-弥散方程(FADE)是模拟溶质迁移问题的新理论,但应用FADE来模拟溶质迁移时能否克服弥散的尺度效应尚待验证。利用长土柱实验资料结合FADE的解析解拟合推求FADE的弥散系数,并分析其与尺度之间的相关关系。研究结果表明,FADE的弥散系数具有随尺度增大而增大的现象,且均质土柱中FADE的弥散系数尺度效应小于非均质土柱中弥散系数尺度效应。在均质土柱中,弥散系数与尺度之间成指数相关关系,在非均质土柱中,弥散系数与尺度之间成幂相关关系。考虑了弥散系数分别与迁移时间和迁移距离呈线性递增两种相关关系,进而分别构建了3种考虑弥散尺度效应的FADE模型,并提出了求解的差分方法。利用上述3种考虑弥散尺度效应的FADE来模拟和预测不同空间位置处的溶质迁移过程。结果表明,对均质土柱中的溶质迁移可得到较好的模拟结果;对于非均质土柱,其模拟结果与实测结果仍然存在一定的差异。