从宁波一模到T8联考——切比雪夫最佳逼近直线问题探究

对2024届宁波一模第8题和2024届T8第二次联考第19题——两道以“切比雪夫最佳逼近直线”为背景的试题的解析与探究,介绍“切比雪夫最佳逼近直线”的定义及有关结论,通过例题展示“切比雪夫最佳逼近直线”在高考题及模拟题中的考查、应用,以期给师生备考一些启示.

从宁波一模到T8联考——切比雪夫最佳逼近直线问题探究

各省相继发布了新高考试卷的结构改变的信息,其中最大的变化就是题目数量减少、顺序和分值的调整、压轴题的创新设置,种种转变都旨在反对机械刷题,是一次从考查旧知、结论到注重考查思维过程、思维品质的转变,有利于服务拔尖创新人才的选拔,反映新高考改革的导向.

用切比雪夫最佳逼近理论求拟合直线方法

本文简述切比雪夫最佳逼近理论，并用它来求拟合直线．经计算机运行结果表明。

利用切比雪夫最佳逼近直线理论解决一类最值问题

近年来,在学考、高考、竞赛以及自主招生考试中,有很多试题都涉及切比雪夫逼近问题.本文将介绍切比雪夫最佳逼近直线理论并应用它“秒杀”形如｜f（x）-ax-b｜类最值问题.

基于切比雪夫最佳逼近的LVDT位移传感器信号处理

针对LVDT位移传感器两端输出信号的非线性问题,提出了一种基于切比雪夫最佳逼近原理的信号处理方法.该方法将传感器有效量程自适应地分为线性和非线性区域.线性工作范围和对应直线逼近函数利用切比雪夫一次最佳逼近自适应确定,非线性区域信号采用有理B样条函数进行线性化处理.设计了基于MSP430单片机的信号处理器,搭建了基于步进电机直线台和标准激光传感器的试验平台,对该算法进行实验验证.实验选用量程为85mm的LVDT位移传感器,实验结果表明,该方法将传感器的非线性误差从2.47%降至0.30%,测量平均误差绝对值从0.64mm降至0.12mm,有效改善了传感器的线性度和精度,延展了其工作范围.

切比雪夫最佳逼近直线问题

1问题提出近年来高等数学与初等数学衔接的内容越来越多,高中数学里面渗透了很多高等数学思维和方法,笔者研读文献~([1])时,发现在2019年北京高考理科数学第19题,2016年天津高考理科数学第20题都出现双参量问题.这些题基于高中目前已有知识储备只能利用绝对值三角不等式或者分类讨论利用导数解决,这对一般学生而言,难度较大.

基于切比雪夫最佳逼近意义下的CPI指数变化通道的原理与方法

中国2000-2015年的186组CPI指数所体现的变化规律,可以用通道原理来描述.通道类似于交通图中的道路,依据切比雪夫最佳逼近原理,以CPI函数为中心线,以极小化最大正负误差为边界线,包含了所有的CPI数据,是一条具有最大安全范围意义的数据通道.假设端点数据是建立在零误差基础上的最大权重数据,未来短期内CPI指数的变化不存在突变,或存在突变但其误差不大于通道内的最大正负误差,则通道的延伸可以预测未来CPI指数的变化,以及变化的波动范围.介绍了CPI通道的基本原理与方法、适用范围、判别法则、具体算法等.通过多个数据处理实例,说明了直线通道具有简单易懂、直观性强、计算方便、适用范围广、符合性较好等特点,验证了未来短期CPI指数变化基本是可知与可控的.

切比雪夫最佳一致逼近法及误差函数特性研究

在介绍切比雪夫一致逼近定理和切比雪夫多项式的基础上,讨论了利用切比雪夫最佳一致逼近法设计FIR滤波器,并对设计过程中误差函数的极值特性进行了讨论.

改进切比雪夫意义下最佳逼近方法与应用

切比雪夫意义下的最佳逼近方法具有广泛用途。但若按逼近的相对误差加以改进、则逼近结果会有更大的实际意义。本文针对一般工程应用,给出了三次以下的解析结果和使用实例。

预测型切比雪夫多项式

预测型切比雪夫多项式,是切比雪夫多项式及最佳逼近理论在预测中的一个推广应用,可以解决一般预测中预测的可知、可控性问题。文中通过讨论后指出,在预测中,当预测误差不超过已知最大绝对误差时,预测将成为可知;当预测区间不超过已知最大范围时,预测将成为可控。基于这个原理,建立了一种具有预测功能的预测型切比雪夫多项式,Gn(x)多项式。论证了该多项式依据的微分方程、相关定义、有关性质、数学表式;阐述了该多项式的存在性;给出了Gn(x)多项式在y(x)10条件下构成的预测型最佳逼近g(x)多项式;提供了g(x)多项式得以实现的具体算法;介绍了一种使预测结果更接近实际值的误差补偿法;并给出了若干应用实例。

用切比雪夫多项式对实验数据的曲线拟合

本文研究利用切比雪夫多项式对实验数据的曲线拟合。插值点的选择利用了代数插值余项的小化原理。利用切比雪夫多项式的性质，导出多项式系数的计算公式，它具有简洁特点，同时也易于计算机的实现。本文选择了两个算例，其一是二元机翼绕流，其二是圆柱绕流型阻。对这两个算例分别对表面压力分布及圆柱尾流区相对速度分布进行曲线拟合。在此基础上，对切比雪夫多项式拟合方法进行了讨论。

一类双重复合最值问题的切比雪夫最佳逼近线解法

给出判断直线是否为函数的切比雪夫最佳逼近直线的充要条件,介绍如何运用数形结合思想和最佳逼近直线的相关结论寻找一类双重复合最值问题取得最值的条件,从而直观解释其它解法的由来。

关于逼近论中的几个问题

设Ｃ_Ａ，Ｃ_Ｂ分别是Ｂａｎａｃｈ空间Ｘ的子集Ａ，Ｂ的Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ中心，Ｐ_Ａｘ，Ｐ_Ｂｘ分别是Ａ，Ｂ对ｘ∈Ｘ的最佳逼近元。本文给出了‖ＣＡ－ＣＢ‖，‖Ｐ_Ａｘ－Ｐ_Ｂｘ‖关于（广义）Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ（拟）距离ｈ（Ａ，Ｂ）的最佳估计式。在空间Ｌ￣ｐ（１＜ｐ＜∞）中肯定回答了文［１］中提出的问题，改进和推广了文［２］中的主要结果。

解密平口单峰函数及其本质

平口单峰函数模型能够快速有效地解决该类|f(x)-ax-b|的最值问题.本文介绍平口单峰函数模型的诞生背景、其蕴含的几何原理和代数原理,并研究平口单峰函数模型的适用范围.

余弦函数型最佳一致逼近多项式

依据最佳一致逼近的基本理论,围绕切比雪夫多项式的特征方程,参照余弦函数的变化图形,建立了余弦函数型最佳一致逼近C_n(x)多项式.文中介绍了C_n(x)多项式在被逼近函数y(x)=0条件下依据的微分方程、相关定义、有关性质、数学表式、递推公式;讨论了它与切比雪夫T_n(x)多项式之间的关系及转化;提供了在y(x)≠0条件下C_n(x)多项式转化成c(x)所具有的特征和特点;给出了关于c(x)多项式得以实现的具体算法.应用实例表明,在减少多项式的摆动性、提高逼近精度、增大预测范围方面都有较大的改善和提高.

孔隙压力精确预测方法及其在九龙山地区的应用

四川盆地川西北地区九龙山构造具有多套产层,纵向上存在多套压力系统且含有异常高压。因地层孔隙压力预测不准确导致的井下复杂与事故(井漏、井涌、溢流、卡钻),给该区的安全、快速钻井施工带来了很大的困难。为此,基于九龙山地区已完钻井的测井资料,在常规孔隙压力预测模型的基础上,运用切比雪夫逼近原理建立最佳一致逼近的多项式模型对实际地层孔隙压力进行多次逼近,通过确定最佳值一致逼近多项式的关键系数,进而建立起了具备地质构造特点的地层孔隙压力精确预测模型。应用结果表明,这种全新的预测方法建立的地层孔隙压力剖面具有相当高的吻合率,成功实现了对九龙山构造异常地层压力的精确预测。

用Matlab设计FIR数字滤波器

采用窗函数法、频率抽样法和切比雪夫最佳一致逼近法,通过调用Matlab信号处理工具箱中的函数设计低通数字滤波器。针对采用Matlab设计的程序和对应的幅频响应特性曲线,分析了三种设计方法各自的特点,比较了在相同滤波器长度下采用上述三种方法设计的滤波器对给定滤波器的逼近程度。结果表明采用窗函数法和切比雪夫最佳一致逼近法 (调用remez函数 )设计过程简单,而采用频率抽样法设计过程复杂。从逼近程度看,采用切比雪夫最佳一致逼近法设计的滤波器在整个频段误差最小,性能最优。

对2019年北京卷理科19题的探究

一、试题及简评试题(2019年北京卷理科19题,以下简称19题)已知函数f(x)=1/4 x^3-x^2+x.(Ⅰ)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(Ⅱ)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x;(Ⅲ)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.点评:19题以三次函数为载体,考查函数图像,函数的单调性、直线的斜率、导数及其几何意义、函数图像的平移、函数最值等知识;试题蕴含经典的高等数学背景——切比雪夫最佳逼近直线,这丰富了试题的内涵,为试题的解答、拓展提供了有力工具.

基于海明窗函数法低通滤波器设计

在数据传输过程中,信号常会受到干扰和噪声的影响,因此在获取有用信息前需要经过滤波处理。本文用海明窗函数法和切比雪夫最佳一致逼近法设计的FIR数字低通滤波器分别对一幅加噪的图像进行滤波处理,通过分析比较,发现海明窗函数法设计的低通滤波器滤波效果更好。