试析矩阵行秩等于列秩的两种精简证明方法

在求解线性方程组时,可以根据系数矩阵和增广矩阵的秩判断出线性方程组解的情况,而矩阵的行秩等于列秩这是一个众所周知的结论。本文给出了矩阵的行秩等于列秩的两种精简的证明方法。

略谈如何讲授高等代数课程——以矩阵行秩等于列秩的证明为例

矩阵的行秩等于列秩是高等代数中的一个著名定理,其证明方法多样,涉及行列式、初等行变换、线性方程组理论、对偶空间和对偶映射等高等代数概念,证明的共同特点为缺乏几何直观.鉴于此,利用删除矩阵的附加行不改变矩阵的行秩的结论,以及对矩阵进行列满秩分解的技巧,给出该定理的两种新的初等推导.

伪环上矩阵列秩的若干研究

探讨了伪环上矩阵的最大列秩和秩的关系.给出了伪环上矩阵的秩和最大列秩相等的判定条件.同时,刻画了伪环上矩阵保持秩以及保持最大列秩的线性算子.

四元数矩阵的列左秩

建立了四元数矩阵列右秩与列左秩的关系不等式,解决了一类满足列左秩条件的矩阵方程的解存在性问题,给出了一类列左秩与列右秩相等的自共轭四元数矩阵,并针对此类矩阵中的任意两元A和B,构造性地得到了A与B可换的充要条件,进一步就A与B可换情形下,证明了AB的列左秩与列右秩仍相等．最后,就四元数矩阵列左秩的几个相关问题,通过举例作出了回答．

行(列)满秩阵的几点性质

以矩阵的秩为基础,给出了两种特殊的矩阵:行满秩阵和列满秩阵,并对照矩阵的性质给出了行(列)满秩阵的几条性质,在此基础上研究了线性方程组AX=B对任一m维列向量B都有解的充要条件,进一步给出了矩阵方程AX=B有唯一解的条件。

行(列)满秩矩阵的一些性质及应用

本文给出行(列)满秩矩阵的几个等价刻画,讨论这两类矩阵之间的关系,证明了一个列满秩矩阵的行列式不等式,并指出这两类矩阵在几类特殊矩阵分解方面的若干应用。

列满秩不相容方程组最小二乘解的近似

设列满秩不相容方程组Ax=b的最小最小二乘解为x0,利用正交射影矩阵及多元函数极值存在的条件必要性,本文将矩阵A和b中某些行变为零得到新的矩阵A′和b′使得不相容方程组A′x=b′的最小二乘解x′_0满足‖x_0-x′_0‖2取最小值,同时也给出一个简单的实例说明了具体的运算过程。该结果不仅有益于列充分大和行无穷的方程组的求解,同时也有益于许多实际问题的解答。

列满秩矩阵的半正定因子的新扰动界

利用矩阵的奇异值分解和广义极分解,得到了列满秩矩阵广义极分解的半正定因子的新扰动界。所得结论改进了以前的结果,先前结论可看作新扰动界的一种特殊情形。

行（列）满秩矩阵的几个性质

本文建立了行（列）满秩矩阵和齐次矩阵方程有行（列）满秩解的充要条件。

线性方程组反问题的列满秩解

给出了线性方程组反问题的列满秩解的一般表达式

设计矩阵列降秩时线性模型的影响分析

讨论设计矩阵列降秩时，线性回归模型的影响分析。通过线性变换，将列降秩的影响分析转换为列满秩的影响分析。

关于分配格上矩阵的秩

讨论了有界分配格Ｌ上矩阵Ａ的行秩、列秩与Ｓｃｈｅｉｎ秩及其性质，给出矩阵Ａ的Ｓｃｈｅｉｎ秩的几个充要条件，以及在保并条件下减少交叉向量的并式中所含交叉向量个数的两个方法．最后对Ｌ上的ｎ阶可逆矩阵Ａ得到ρ（Ａ）对ｍ×ｎ正则矩阵Ａ得到。

关于矩阵秩概念建立上的一种几何处理

联系对偶线性空间和对偶线性映射等概念,给出了矩阵的行秩与列秩相等的一个几何证明.

广义Fuzzy矩阵的秩

提出了广义Fuzzy矩阵的行秩、列秩及其S_r秩的概念,把文献[1] 、[2]关于Fuzzy矩阵的研究推广到广义Fuzzy矩阵上来,得到了一批结果,为二型Fuzzy关系矩阵的研究打下了基础.本文主要讨论了S_r(A)=1的几个条件.

关于矩阵秩三合一定理的初等变换证明

关于定理"矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩"的证明方法较多,本文将用初等变换的方法给出证明,此证明方法易于理解,便于计算机编程实现,有利于机器证明。

关于矩阵的秩的等价描述

从行列式、矩阵的等价、线性方程组、线性空间、线性映射等角度来刻画矩阵的秩,进而用这些命题来证明与矩阵的秩有关的一些命题.

关于矩阵的秩的例题教学

本文通过三个典型例题的具体讲解,加深学生对抽象概念“矩阵的秩”的理解和掌握。

Min-Algebra上矩阵的μ值

利用矩阵理论研究了一类特殊的半环-(Rmin,,,∞)上的矩阵的秩、列秩和极大列秩之间的关系,得到了对于min-algebra上任意m×n矩阵,使这3类秩相等的最大整数,即矩阵的μ值的所有情形,扩展了已有的相关结论.

模糊阵Ⅰ型方程等问题的若干定理的推广

推广了文献[1,2 ] 中的若干定理 .借助于置换阵的有力工具 ,把有关文献中的九个定理扩展成充分必要条件 ,并给出相应定理的直观叙述 .