关于剩余有限群的Profinite完备化

设G是个剩余有限群,本文深入地讨论了G的Profinite完备化之间的关系。

有限生成剩余有限群的素数阶自同构

设α是有限生成剩余有限群G的素数p阶自同构,映射?:G→G(g■[g,α])是满射,则G是幂零类至多为h(p)的幂零群,其中h(p)是与素数p有关的函数。特别地,如果α是2阶自同构,那么G是交换群。

一类多重循环群的剩余有限性质

设A是秩为n(n≥2)的自由Abel群,A的自同构群Aut(A)=GL(n,Z).对整数m,取α=(010…000┆┆┆┆┆┆┆000…0110…0 m)记∈Aut(A).记Г_(m)(n)=A×<α>则它是一个2元生成的多重循环群.本文给出了Γ_(m)(n)的准确的剩余有限性质.

关于一类无限群——SC-群(Ⅱ)

若群Ｇ的同阶元均在Ｇ中共轭，则称群Ｇ为ＳＣ—群。本文给出了可解ＳＣ—群，剩余有限ＳＣ—群和剩余中心ＳＣ—群的刻划。并对所谓奇阶元ＳＣ—群进行了探讨。

无限可解群全形的剩余有限性质

给出了 -群的特征群列Abel商因子的排序,得到了 群全形的剩余有限性质,证明了:若 群G的Fitting子群的中心是既约的,则其全形Hol（G）是剩余有限π-群,这里π是有限个素数的集合.

两类整环上的上三角矩阵群(Ⅰ)

本文从两类整环上的二阶上三角矩阵入手,构造了两个3元生成的亚Abel群,给出了它们的清晰结构,研究了它们的剩余有限性质:一,证明了其中一个无限秩的亚Abel群是剩余有限p-群,这里p是任意素数.二,证明了另一个有限秩的亚Abel群没有这种整齐的剩余有限性质,尽管其结构要简单得多.本文的结果表明,无限可解群里秩的有限性条件对群的剩余有限性具有很大的影响.如何把本文的研究推广到高阶矩阵群,是值得进一步探索的问题.

多重循环群的一个注记

设A是秩为n的自由Abel群.熟知A的自同构群Aut(A)=GL(n,Z).设f(λ)=λ^(n)+a_(n-1)λ^(n-1)+…+a_(1)λ+a_(0)∈Z[λ]是不可约多项式,其中a0=±1.设T=<α>是无限循环群,α通过多项式f(λ)的Frobenius相伴矩阵诱导的自同构作用在A上.设G=A■T.我们证明G是剩余有限p-群当且仅当p整除f(1).

一类p′-自由的幂零群的p-自同构

设G=KP,其中K是有限生成的p′-自由的幂零群,P是有限秩的幂零p-群,并且[K,P]=1,即G是K和P的中心积,α和β是G的两个p-自同构,记I:=〈(αβ(g))·(βα(g))^(-1))|g∈G〉,则(i)当I是有限循环群时,〈α,β〉是一个有限p-群; (ii)当I是拟循环p-群时,〈α,β〉是一个可解的剩余有限p-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张; (iii)当I是无限循环群时,〈α,β〉是一个可解的剩余有限p-群,其幂零长度不超过3;特别地,当上述群K是一个FC-群时,若I是无限循环群,则〈α,β〉是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张．

一类p′-自由的幂零群的p-自同构(Ⅱ)

设G=KP,其中K是有限生成的p′-自由的幂零群,P是有限秩的幂零p-群,并且[K,P]=1,即G是K和P的中心积,α和β是G的两个p-自同构,记I:=〈(αβ(g))·(βα(g))^(-1)|g∈G〉,则(i)当I=Z_(p^n)(?)Z_(p~∞)时,α和β生成一个可解的剩余有限p-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张;在下列3种情形下,α和β生成一个可解的剩余有限p-群,其幂零长度不超过3.(ii)当I=Z(?)Z_(p~∞)时;(iii)当I有正规列1<J<I,其商因子分别为无限循环群和有限循环群时;(iv)当I有正规列1<L<J<I,其3个商因子分别为无限循环群、有限循环群和拟循环p-群时.特别地,当上述群K是一个FC-群时,α和β生成的群是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张.

Geometric Property(T)

This paper discusses "geometric property(T)". This is a property of metric spaces introduced in earlier works of the authors for its applications to K-theory. Geometric property(T) is a strong form of "expansion property", in particular, for a sequence(Xn)of bounded degree finite graphs, it is strictly stronger than(Xn) being an expander in the sense that the Cheeger constants h(Xn) are bounded below.In this paper, the authors show that geometric property(T) is a coarse invariant,i.e., it depends only on the large-scale geometry of a metric space X. The authors also discuss how geometric property(T) interacts with amenability, property(T) for groups,and coarse geometric notions of a-T-menability. In particular, it is shown that property(T) for a residually finite group is characterised by geometric property(T) for its finite quotients.