无限可解群全形的剩余有限性质

给出了 -群的特征群列Abel商因子的排序,得到了 群全形的剩余有限性质,证明了:若 群G的Fitting子群的中心是既约的,则其全形Hol（G）是剩余有限π-群,这里π是有限个素数的集合.

一类p′-自由的幂零群的p-自同构

设G=KP,其中K是有限生成的p′-自由的幂零群,P是有限秩的幂零p-群,并且[K,P]=1,即G是K和P的中心积,α和β是G的两个p-自同构,记I:=〈(αβ(g))·(βα(g))^(-1))|g∈G〉,则(i)当I是有限循环群时,〈α,β〉是一个有限p-群; (ii)当I是拟循环p-群时,〈α,β〉是一个可解的剩余有限p-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张; (iii)当I是无限循环群时,〈α,β〉是一个可解的剩余有限p-群,其幂零长度不超过3;特别地,当上述群K是一个FC-群时,若I是无限循环群,则〈α,β〉是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张．

一类p′-自由的幂零群的p-自同构(Ⅱ)

设G=KP,其中K是有限生成的p′-自由的幂零群,P是有限秩的幂零p-群,并且[K,P]=1,即G是K和P的中心积,α和β是G的两个p-自同构,记I:=〈(αβ(g))·(βα(g))^(-1)|g∈G〉,则(i)当I=Z_(p^n)(?)Z_(p~∞)时,α和β生成一个可解的剩余有限p-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张;在下列3种情形下,α和β生成一个可解的剩余有限p-群,其幂零长度不超过3.(ii)当I=Z(?)Z_(p~∞)时;(iii)当I有正规列1<J<I,其商因子分别为无限循环群和有限循环群时;(iv)当I有正规列1<L<J<I,其3个商因子分别为无限循环群、有限循环群和拟循环p-群时.特别地,当上述群K是一个FC-群时,α和β生成的群是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张.

多重循环群的一个注记

设A是秩为n的自由Abel群.熟知A的自同构群Aut(A)=GL(n,Z).设f(λ)=λ^(n)+a_(n-1)λ^(n-1)+…+a_(1)λ+a_(0)∈Z[λ]是不可约多项式,其中a0=±1.设T=<α>是无限循环群,α通过多项式f(λ)的Frobenius相伴矩阵诱导的自同构作用在A上.设G=A■T.我们证明G是剩余有限p-群当且仅当p整除f(1).