量天测地:中国勾股术产生的社会背景及其文化意义

从矩、圭表两种古代测量工具出发,考察了中国古代勾股术产生的社会背景,论述量天测地与圭表测影在古代中国的政治和文化意义,认为国家管理与民用生活为中国勾股术的产生与发展提供了丰厚的社会和文化土壤。对于中国古代社会来说,勾股术不仅仅是一条数学定理,还是可以用于生产、生活、国家管理等方面的重要计算法则,从而衍生出完整而严谨的中国古代勾股理论体系。这也使得中国古代的勾股术具有与其他文明不同的社会特点与文化涵义。

评汤若望眼中的中西勾股术

汤若望在《新法历引》中对中西勾股术进行对比,认为中国传统勾股术远不及西方的几何学。中国传统勾股从《周髀算经》和《九章算术》开始,经历数百年发展,到宋金元时期达到最高峰,取得了辉煌的成就,但在明代停滞不前。随着西方三角学知识的传入,中国传统勾股术发展发生变化,尤其对清代学者的研究影响极大。通过梳理中国勾股术发展,并结合西学东渐的社会背景,分析汤若望眼中的中西勾股术差异,对他的观点进行评述并寻找原因。

中国“勾股”术与印度三角体系的等价性探讨

论述了中算中的“勾股”术与印度“三角”的等价性，及有关三角问题的中算“勾股”处理．指出中算自身的内容蕴含着三角内容的等价体系，为唐代中算没有接受印度三角学提供了一个支持．

王子的数学与声学——对朱载堉乐律学创新的思想资源和数学方法的考察

明代皇室后裔、杰出学者朱载堉成功地解决了乐律学长期存在的问题:中国乐律中使用的“三分损益法”不能通过产生一个与起始音高成八度关系的音以达到“返宫”的理想目的。首先,朱载堉对此问题的解决方式反映出儒家经典中所描述的标准器“周鬴”在他的思维中占有重要地位。周鬴记录了长度、重量和体积的计量单位,并且以某种方式定义了标准音高。基于经典文献对周鬴的描述,朱载堉创造性地建立了一个方形及其外接圆的结构,并由此展开其律制的创新工作。其次,他使用了数术的方式去阐释此方和圆的周长数量关系,这一思想来自宋代学术。在这样的阐释中,他直接采用了一些数术理论中的数值,并且这些数值被进一步用于确定律管的尺寸。在朱载堉建立新律制所依赖的各种数学知识中,圆周长与其直径的关系,可以用现代数学方式表示为10×4/√9^(2)+9^(2),实际上是他极为自豪的重要发现。与这个周径关系相关联的数也被指称为“密率”,正与他的等程律中数据的名称相一致。朱载堉为新律制创建“密率”的数学方法的核心在于“勾股术”以及开平方和立方的操作。他完美地将寻找连续十二个律管长度问题转化为先求解音程中对称点音高对应长度的问题。以这样的方式,他所掌握的数学操作成功地处理了建立十二等程律过程中的数值。

《中西闻见录》与其数学传播

目的解读近代北京第一份中文期刊《中西闻见录》中的数学知识,为中国近代数学史研究提供新线索。方法原始期刊文献整理与分析。结果该刊数学内容包括:代数学,特别是勾股术和天元术;数论,特别是整数表示和素数判定;几何学,特别是圆以及正弦、余弦的求法以及编者与读者的数学问题互动交流。其中李善兰(1811—1882)的素数研究接近西方数学前沿,而在代数学、几何学方面,未达到西方水平。结论一方面,《中西闻见录》介绍了西方代数学、数论等一些新的数学成就,同时也介绍了中国数学家们在数论、代数学、几何学方面的一些新的探索。另一方面,个案研究表明李约瑟关于在18世纪西方科学已完全取代中国科学的观点是片面的。其中李善兰的素数判定研究,已等价于西方的相关研究结果。

《中西闻见录》中的数学研究

探讨北京第一份近代期刊《中西闻见录》中的数学知识,对其内容进行研究。原始期刊文献整理与分析、分类法。期刊中对代数学,特别是勾股术和天元术的研究;数论特别是整数表示和整数的素数判定的研究;几何学特别是圆问题以及正余弦的求法的研究以及数学问题的问与答形式的数学交流的研究。《中西闻见录》既介绍了中国古典数学和中国学者的最新学术成就,也介绍了西方数学史,对推动当时数学的研究与发展做出了贡献。

简论中国古代数学中的“黄金分割率”

本文从勾股术、河图洛书、贾宪三角形等五个方面论述了中国古代数学与黄金分割率的内在联系,证明中国古代数学实际上蕴涵了黄金分割问题,只是其表达方式有所不同,不像欧几里德几何那样演绎得清楚明白。这一方面说明,中西数学是可以会通的,另一方面也说明,中国古代数学有其独特的路数与价值,任何简单的比附或贬抑都是毫无意义的。

李善兰《九容图表》校正与解读

《九容图表》是李善兰在同文馆任教期间完成的一篇短文。主要内容包括一图两表。因无必要的文字说明,图中的方边、半径、中垂线的作用不明,两表之中又有文字脱误与不当省略,故该文内容尚无准确的解释。根据有关文献,就该文的图和表予以补正,阐述其内容与应用,从而说明该文对于勾股测圆术内容系统化与公式化的重要意义。

刘岳云《测圆海镜通释》补证与解读

《测圆海镜》(1248)记载的勾股测圆术是中国古代数学的一项重要成果。晚清数学家又将这一成果予以发展和完善。其中,刘岳云(1849~1917)《测圆海镜通释》(1896)具有独到的见解。因传本缺少必要的解说,兼有文字脱误,故准确理解该书的内容存在困难。本文在校正原文的基础上,依据计算结果,就其难点予以分析,试图阐明其理论与方法,从而说明在晚清勾股测圆术的研究中刘岳云的理论建树。

刘彝程《九章实义》研究

《九章实义》在西算思想的指导下以比例讲解“九章”知识,叙述详略有度,以阐明算理为主,是一本数学入门书籍。书中给出比例的确切定义、概括出比例性质四条;创多种开方法以及方程运算中正负号变化的口诀;以等量代换及比例方法阐释勾股和较术的算理;在比例思想指导下将勾股和较术与勾股测圆术相联系,为圆城图式增添四条直线,以总括勾股算理,使勾股诸义显而易见。

唐宋木构建筑材栔构成的数理原型与操作方法探赜

现存唐宋木构实例的用材模式并不统一,在"材份制"成立之前广泛存在着以1.4、1.5、1.6倍高宽比权衡材截面的传统,且其各自的栔高分配亦不相同。通过梳理三者间的继承关系,利用勾股作图验证不同材截面的比例构成形式,揭示其广、厚诸边的生成步骤与定值依据,对"几何问题代数化表达"传统下的材栔设计方法展开复原,探索其数理原型。