解析初中数学因式分解运用思路——以“十字相乘法”为例

初中数学的教学中,不论是分式,还是一元二次的方程,其相关运算都与因式分解有着密切关联.而十字相乘法更多是对二次三项的式子实施分解因式,还可以将其运用于一元二次方程、二次函数和x轴的交点坐标、二次不等式等求解中.由此可知,十字相乘法对于因式分解的问题解决有着显著帮助.

如何认识“十字相乘法”?(一)

在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中去掉了“十字相乘法”，引起了广泛的争议，很多初中教师还是把“十字相乘法”作为教学的内容，一些高中教师也用了很多时间补充“十字相乘法”的内容．应该如何对待“十字相乘法”，什么是“通性通法”？本文通过对“十字相乘法”的分析，希望能和教师们一起来讨论这些问题．本文介绍了“十字相乘法”的原理及适用范围；本文（续）将对“十字相乘法”与“求根公式法”进行比较；分析了这些方法在后续数学学习中的作用以及“中、高考”在这方面的命题趋势；最后给出了一些建议，供教师参考．

如何认识“十字相乘法”?(二)

在前文（《如何认识“十字相乘法”？（一）》）中我们介绍了韦达定理、十字相乘法、求根公式法，这里我们继续探讨“十字相乘法”和“求根公式法”．

再谈“十字相乘法”

一、再谈“十字相乘法” 前不久在新西兰听了中学的两节数学课，内容恰好是因式分解“十字相乘法”复习课．两节课老师共举了7个例子，其中2个例子和文[1]（p50，2．2）的看法完全一致．以下是我的课堂笔记：

双十字相乘法的推广

对多项式因式分解的双十字相乘法进行了推广．

从求高次方程的有理根再看“十字相乘法”

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称为《课标》）要求理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．显然，这里并不要求掌握用“十字相乘法”解一元二次方程．但事实上，很多教师仍然将“十字相乘法”作为重要的教学内容．因此，对于应不应该删去“十字相乘法”，可谓是众说纷纭．本文从新的视角，即求高次方程的有理根的角度，分析了十字相乘法的作用和价值．

关于“十字相乘法”是否应保留的一点思考

因式分解本身无论在生活的数学中,还是在理论上的数学中,都不会单独出现,但是因式分解却因为其自身在数学应用中的随处可见性,例如,在求值问题中的运用,在分式运算中的运用,在二次根式计算中的运用,以及在等式、恒等式证明中的运用等等,让它居于一个基础性的地位,属于中学阶段必须要掌握的工具性的数学知识.……

HPM视角下的“十字相乘法”课例研究

近年来,由HPM专业学习共同体合作开发的HPM课例日益增多,但在已经发表的HPM课例中,很多教师看不到课例的形成过程与研究细节。事实上,除了课例的教学过程,课例形成过程和研究细节也是一线教师希望了解的。研究者通过'十字相乘法'课例研究,按照选题与准备、研讨与设计、实施与反馈、整理与写作四个环节展开,为初中HPM课例研究和课堂教学提供参考。

初中数学微课程的实践探索——以“十字相乘法”分解因式微课程开发为例

本文通过调查分析,进行必要性和可行性论证,为开发微课程、录制微课提供理论和实践的依据。文中详细介绍微课程的开发、微课的录制、上传共享、总结反思的过程。微课程发挥了数字平台的优势,促进区域内教师资源共享,同时创造性地开发运用教材,满足不同层次学生的需求,有效地促进了教师的专业成长,为名师数字课堂的传播提供了可供参考的范例。

对十字相乘法的改进

十字相乘法是因式分解的基本方法之一,主要用于二次三项式的因式分解,定义如下:若二次三项式ax2+bx+c的系数满足关系a=a1a2,c=c1c2,b=a1c2+a2c1。

数学史融入课堂教学--以“十字相乘法”为例

笔者将数学史融入课堂教学,引导学生了解十字相乘法源于多项式的竖式乘法,从“数”的角度理解十字交叉线的意义.学生借助直观操作.根据给定多项式“拼”长方形,从“形”的角度理解分解二次项和常数项的数学原理.通过数形结合,培养学生直观想象、数学抽象核心素养.

对十字相乘法教材和教学的建议

通用教材初中代数第二册第七章是“因式分解”,这章教材是本着对传统教材内容进行适当精选的原则编写出来的,全章的重点是讲因式分解的四种基本方法:提取公因式法、应用公式法、可化为x^2+(a+b)x+ab型的二次三项式的因式分解和分组分解法。而没有提“十字相乘法”这个名称,这是不大好的。

“十字相乘法”:基于学生问题,选取HPM视角

HPM视角下的"十字相乘法"教学,按照"预习提问—回忆旧知—解读新知—巩固运用—拓展提升—归纳小结"的流程,通过"竖式乘法"迁移到"十字相乘法",重构式地再现吉雷特采用十字交叉线进行因式分解的过程;尝试将二次三项式从"二次项系数为1"向"二次项系数不为1"延伸,由"三项式"向"四项式"突破,经历"一般到特殊、特殊到一般"的思想历程,并借鉴数学史来解答学生课前提出的问题。如此,深刻地揭示了数学史的知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效等多元价值。

巧用十字相乘法计算遗传概率

遗传图谱的识别与相应概率的计算是高中生物必修课中的一种典型题型，它综合性极强，不仅要求学生具有扎实的生物学专业知识，深刻理解遗传规律的本质，还要求学生掌握一定的解题技巧。传统的解题思路大都是用文字叙述的，不便学生理解和掌握，但笔者改用“基本文字讲解再巧用十字相乘”的方法后，教学效果显著。此方法易学易掌握，能更好地帮助学生识别遗传图谱与计算遗传概率。现以2004年上海高考题第37题为例介绍如下：

再谈“十字相乘法”该不该删掉

十字相乘法在新课程实施过程中该如何处理成为数学教师讨论的一个热点话题．本文从3个方面对这个问题进行了分析，旨在明晰一些认识，本文认为，十字相乘法还是删掉的好．

问题驱动,追问促深——“高中视角下的十字相乘法”的课堂实录与思考

“问题驱动,追问促深”教学模式是以教学内容为依据,以情境问题为引领,以学生探究为中心,以问题追问为抓手的基于新课标理念的教学模式.本文以解一元二次方程为例探究了高中视角下十字相乘法的教学实践.

用十字相乘法解三类方程问题

1.含有小数系数的一元二次方程例1解方程:x^2+3x-0.31=0.分析含有小数系数的一元二次方程,很多人习惯用公式法求解,计算往往很复杂.但如果用十字相乘法分解因式来解就简单了,即只需要将常数项-0.31分解为3.1和-0.1两个数就能快速解答.将原方程左边用十字相乘法分解因式,得(x+3.1)(x-0.1)=0.

HPM视角下“十字相乘法”的教学

1引言“十字相乘法”是沪教版初中七年级数学教科书第九章“整式”第五节“因式分解”的第三课时的内容,在掌握提取公因式法、公式法等方法的基础上进一步学习十字相乘法.《上海市中小学数学课程标准(试行稿)》指出:理解因式分解的意义,掌握提取公因式、分组分解、公式法和二次项系数为1时的十字相乘法等因式分解的基本方法[1].