初等解析函数教学探析

针对初等解析函数教学的重点难点,分析教学环节中值得注意的问题,阐述如何突破教学重点难点,使学生深入透彻地掌握相关概念、性质和结论.

多值解析函数教学中的一点体会

多值解析函数是复变函数教学的一个难点,学生对于多值解析函数的单值解析分支、单叶性区域、支点、支割线、Riemann面等一系列概念感到难于理解。一般复变函数教材中,对初等函数不作严格定义,只把它们看作是数学分析中通常的初等函数的自然推广。因此,在教学中我们首先说明,对复变初等函数,除了研究与其相应的实变初等函数共同的性质外,还要任意实变量函数的哪些性质对复变函数不再成立,以及在复数范围内新显现出的性质,这一点对于学生理解多值解析函数不无补益。

对一个复应力函数的补充说明

指出集中刻槽中受集中力作用时的复应力函数的精确解没有实用价值。

函数F(Z)=integral from n=Z_1 to Z(f(ξ))dξ的两个性质

设f(Z)是区域D内的解析函数,,当积分不能用初等函数表示时,往往不宜直接对函数F(Z)进行讨论,因此,我们试图通过考察被积函数f(Z)来了解函数F(Z)的有关性质。首先,借助这一方法探讨一下F(Z)在区域D内的单值解析性。 引理:(参看[3])设D是复平面上的区域,函数f(Z)在区域D内连续,并且f(Z)沿D内任意一条闭曲线的积分等于零。

有趣的Riemann曲面

Riemann曲面的研究,已在国外引起极大的关注。但国内研究者尚不多。在各复变函数的教材里也仅略提一笔。为此,我感到有必要作进一步的介绍,这里也仅介绍简单的代数函数的Riemann面,及其与拓朴学相结合而产生的标准形式,藉以引起读过复变函数论的青年读者的兴趣和关注。

对残数定理的进一步研究及推广

本文引入单值解析函数在非孤立奇点的残数概念,并把残数定理推广到函数在区域内可以有非孤立奇点的情形。

Hadamard定理的积分形式

对闭圆环上的单值解析函数,当函数在两个边界圆上的最大模之比不是两个边界圆的半径之比的整数幂时,则Hadamard三圆定理中的严格不等式成立,即函数在环内的最大模有较小的上界.Teichmuller与Heins独立地得到了具有最大模的三圆定理的精确形式.本文用函数的积分平均模代替其最大模,同样得到了具有积分模的三圆定理的精确形式.