批量厄米矩阵特征值分解的GPU算法

批量矩阵计算问题广泛存在于科学计算与工程应用领域。随着性能的快速提升,GPU已成为解决这类问题的重要工具之一。矩阵特征值分解属于双边分解,需要使用迭代算法进行求解,不同矩阵的迭代次数可能不同,因此,在GPU上设计批量矩阵的特征值分解算法比设计LU分解等单边分解算法更具挑战性。文中针对不同规模的矩阵,基于Jacobi算法设计了相应的批量厄米矩阵特征值分解GPU算法。对于共享内存无法存储的矩阵,采用矩阵“块”操作技术提升计算强度,从而提高GPU的资源利用率。所提算法完全在GPU上运行,避免了CPU与GPU之间的通信。在算法实现上,通过kernel融合减少了kernel启动负载和全局内存访问。在V100 GPU上的实验结果表明,所提算法优于已有工作。Roofline性能分析模型表明,文中给出的实现已接近理论上限,达到了4.11TFLOPS。

含参数高阶厄米矩阵求解本征值问题

基于群论原理，提出一种求解含参数高阶厄米矩阵本征值的有效方法。该方法己用于Ｃ（６０）振动谱的计算，并显示出优越性。

色散旋性材料及磁畴的能带结构与本征模式的厄米矩阵求法

我们把色散、无损耗旋磁材料体模的能带结构看作厄米本征值问题。进一步计算表明,该本征模式是一组正交完备基,并且可以用于严格计算有损耗时此种色散体系的本征模式。我们也给出了存在畴界时的边界模式通过该厄米矩阵来求解的方法,表明该模式具有单向传输的特性。

厦门大学物理科学与技术学院教授杨哲森 探秘非厄米系统科研深海

近年来,得益于人造材料和光子晶体的实验发展,非厄米系统日益受到关注。所谓的非厄米系统,是指具有耗散或者增益的一类(经典或者量子)体系,它们的有效哈密顿量可以用一个非厄米算符或者非厄米矩阵来近似描写。“2021年度博士后创新人才支持计划”入选者杨哲森,是这一研究领域的执着拓新者。

对正定厄米特矩阵乘积特征值的一个新估计

设A、B是两个n×n正定厄米特矩阵,本文给出乘积AB的特征值上、下限的一个更精确估计。

反厄米特型Toeplitz线性方程组的反厄米特循环预处理子（英文）

本文主要研究了带位移的反厄米特型Toeplitz线性方程组A n x=b的一个新的反厄米特循环预处理子C n,其中矩阵A n的元素是函数f(θ)=a0+ig(θ)的傅里叶系数.如果g(θ)是Wiener类实值函数,则矩阵C n非奇异;且当n足够大时,矩阵(C n-1A n)*(C n-1A n)的谱以1为聚点.数值实验进一步显示了我们的预处理子是有效的.

一维纳米材料的声子特性研究

建立了一维纳米随机链模型，利用点阵动力学的方法、负本征值理论以及五对角厄米矩阵本征矢量算法，在考虑原子间次近邻相互作用的前提下，计算了一维纳米材料的声子态密度特性。作为比较，还计算了一维单晶体对应的性质。计算结果表明，纳米材料的声子态密度形状与单晶有很大的不同；纳米材料的声子态密度在低频段比单晶体的高，随着晶粒大小的减小，其低频段声子态密度增大；不仅晶界，晶粒本身的畸变对纳米材料的声子特性也有重要的影响。

行列式、矩阵在量子力学中的应用

行列式和矩阵是线性代数中非常重要的组成部分,也是学习量子力学的重要工具.透彻理解和掌握它们是学好量子力学的必要条件.通过举例介绍了行列式和矩阵在量子力学中的应用,揭示了物理语言与数学语言之间的关系以及转换技巧,以方便学习者能够借助数学语言准确地理解和描述量子力学的科学内容.

关于泡利矩阵的几点讨论

为了加深对泡利矩阵的理解,通过讨论泡利矩阵的表示形式和几个重要性质,证明泡利矩阵和单位矩阵一起组成的一组完全基可以展开任意厄米矩阵,分析泡利矩阵对于研究粒子自旋问题、建立相对论性狄拉克方程的重要性以及在构造量子逻辑门中的应用,说明泡利矩阵不仅对于量子力学基础理论而且对于量子信息中的量子计算等前沿领域都具有重要意义。

交叉研究的感悟

本文是基于北京大学"许宝騄讲座"(2019/3/22)及随后在各地的报告扩充而成.开头是受惠于许宝騄先生的一些回忆;末尾是感谢北京大学一批老师几十年来的支持和帮助.中间的主题部分先给出个人交叉研究的概述.然后从来自计算的挑战,进入一年多来笔者关于具有实谱的复矩阵理论的研究.这涉及计算、概率、统计力学和量子力学等领域.随后介绍算法方面的最新进展,此乃概率论与计算交叉的又一案例.作为结束,也略述交叉研究的感悟.

Bogoliubov谱的微扰法

在冷原子物理中研究超流问题时,需要求解准粒子的Bogoliubov激发谱,而这个过程是通过对体系的哈密顿量做Bogoliubov变换得到.对于简单体系,可直接对哈密顿量矩阵对角化,但当体系涉及多个能带时,哈密顿量矩阵形式复杂,计算难度很大.本文提出利用非厄米矩阵微扰的方法对角化哈密顿量,同时由微扰近似波函数构成Bogoliubov变换矩阵完成哈密顿量的Bogoliubov变换.

数组变换与局部性

数组变换是改善循环数据访问局部性 ,提高Cache命中率的重要方法。本文在数组变换理论的基础上 ,结合矩阵初等变换和厄米标准型矩阵的理论 ,提出了依据循环中数组引用的下标表达式来进行数组变换的一般算法。最后给出的实验数据表明

RC线的解法

若（ｔ）是一列阵，将方程写为矩阵形式，可求解。因是厄米的，将其对角化，通过本征方程，求其本征值。

Dirac谱系中具有对称核的积分方程的表述

在势函数矩阵 V(x)是厄米矩阵而不是实矩阵的情况下,Dirac 类谱系中推广的sturm-Liouville 定理被转化成一个具有对称核的线性方程组.

量子力学的数学新视角

在研究算法时遇到如下问题:除实对称矩阵或复厄米矩阵外,何种更大的矩阵类具有实谱?后者是量子力学的两大特征之一,另一特征是波动性.闻名于世的量子力学的"百年大战"就是围绕着波动方程的解是否存在"随机性"展开的.我们将介绍这几年的探索,以一个意外结果打开了一个新视角.须知,现代数学的多个分支源于量子力学.可以想象,新视角所触及的决非仅仅几个小课题.