扭曲乘积形式的2维双曲Yamabe方程

本文通过扭曲乘积流形中一种特殊的度量形式,即旋转对称度量,研究了2维双曲空间在扭曲乘积R_(+)×_(φ)S^(1)形式下的Yamabe方程,推导出了扭曲乘积形式的标准单位球面的Yamabe方程及其解,并在此基础上,通过类比找到了2维双曲Yamabe方程的一组特解.

单位球上Yamabe方程的全局分歧

该文研究了N维单位球面S^(N)上的Yamabe方程−Δ_(S^(N))v+λv=vN+2/N−2.通过分歧的方法,对于任意k≥1,证明了该方程对于任意的λ>λ_(k):=(k+N−1)(N−2)/4都至少有一个非常数解vk,使得vk−λ^(1/(N∗−1))正好有k个零点,并且它们在(−1,1)中都是单根,其中N^(∗)是Sobolev临界指数.在应用部分,得到了当n≥4时,R^(N)上非线性椭圆方程非径向解的存在性.此外,还得到了乘积流形中一个流形是单位球时的Yamabe问题的全局分歧结果.

一类双曲守恒律方程组退化Goursat问题整体光滑解的存在性

针对一类双曲守恒律方程组退化Goursat问题,研究其整体光滑解的存在性.首先,引入特征角α,β,建立α,β和压力P的特征分解;其次,利用α,β的特征分解得到不变区域,进而得到特征角的最大模估计;最后,通过压力P的特征分解以及连续性方法建立解的梯度估计,从而证明退化Goursat问题解的存在性.

一类带阻尼项的非线性脉冲时滞双曲型方程的振动性分析

研究了一类带阻尼项的非线性脉冲双曲型方程的振动性问题。借助阻尼项的处理技巧及一阶脉冲时滞微分不等式的已有结果,得到了该类方程在Dirichlet边值条件下所有解振动的若干充分性判据。所得结论表明,脉冲量和时滞量均会影响方程的振动性。

双曲方程组Goursat问题整体光滑解

本文主要研究一个广义压力下二维退化双曲守恒方程组Goursat问题存在解且具有光滑性。考虑该问题为混合型方程的Goursat问题,首先引入该方程组的特征角,并且对该特征角进行限制,求出特征角的方向导数从而得到压力P的特征分解。通过特征分解得到解的不变三角形,由此得出解的边界值估计以及局部存在性。根据压力P的特征分解,利用连续性方法建立解的梯度估计,将局部解扩展到全局,从而证明半双曲片整体解的存在性。

求解一维双曲守恒律方程的高分辨率格式

对于双曲守恒律方程,当存在激波或间断时,熵相容格式会出现非物理振荡,为抑制振荡同时提高格式的分辨率,利用限制器构造高分辨率格式,对已有的sweby及MC限制器进行改进,将改进后的限制器添加至熵相容格式中。在一维双曲守恒律上进行数值实验结果表明,所构造的高分辨率熵相容格式具有鲁棒性、无振荡性等良好特性。

双曲型方程激波捕捉的物理信息神经网络(PINN)算法

双曲型方程的数值求解算法研究一直是偏微分方程研究的热点,其中,双曲型方程的间断捕捉是难点。受物理信息神经网络(physics-informed neural networks,PINN)启发,构造了改进的PINN算法,近似求解双曲型方程的间断问题。将坐标构造的数据集作为神经网络的输入,将PINN算法中的损失函数作为训练输出值与参考解(基于细网格的熵相容格式数据)或准确解的误差值,通过网络优化,最小化损失函数,得到最优网络参数。最后用数值算例验证了算法的可行性,数值结果表明,本文算法能捕捉激波,分辨率高,且未产生伪振荡。

Yamabe流下黎曼流形上热方程的梯度估计

研究了在Yamabe流下演化的一个完备非紧黎曼流形,对流形上热方程的正解给出了两种局部的梯度估计.作为应用,可以得到这个热方程的Harnack不等式.

含源项双曲守恒方程的保平衡HLL格式

针对含源项的双曲守恒方程给出了一种新的有限体积格式.经典的有限体积格式不能正确地模拟对流通量项和外力之间的平衡所产生的动力学问题.为解决这个问题,仿照经典的HLL近似Riemann求解器设计思路设计了含源项的近似Riemann求解器.针对含重力源项的一维流体Euler方程和理想磁流体方程,通过对通量计算格式的修正得到了保平衡HLL格式(WB-HLL),并给出了保平衡的证明.针对一维Euler方程和理想磁流体给出了两个算例,比较了传统HLL格式和提出的WB-HLL格式的计算精度.计算结果表明,WB-HLL格式精度更高,收敛更快.

二维二阶双曲型方程隐式差分格式的稳定性分析

研究了二维二阶双曲型方程交替方向隐式差分格式的稳定性问题。利用分离变量法给出了两种计算特征方程的方法,并对差分格式的稳定性做了详细讨论。结果表明在不同的权重下,差分格式的稳定性与网格比取值有关。

求解双曲守恒律方程的MUSCL-Hancock熵相容格式

本文提出了一种基于MUSCL-Hancock方法求解双曲守恒律方程的熵相容格式(EC-MHM格式),新格式在空间上利用MUSCL-Hancock方法对数据进行重构,并对重构后的斜率进行修正,得到高分辨率的熵相容通量;在时间上,利用双曲守恒律方程的差分形式更新下一时刻的值,更新下一时刻变量值时只需计算一次数值通量,从而提高了格式的计算效率;最后对不同的双曲守恒律方程进行数值模拟,结果表明,EC-MHM格式具有无振荡、高分辨率、高精度等良好特性。

耗散双曲Yamabe流的精确解

本文介绍了一种新的几何流,得到了这种流的一些精确解.首先得到了初始度量为Einstein的解.其次得到了具有轴对称的解.最后,作为这种流的特殊解,定义了稳定耗散双曲Yamabe孤子,而且给出了这种孤子解所满足的方程.

双曲Yamabe流的精确解

得到了双曲Yamabe流的一些精确解.第一类解是具有初始度量为Einstein的解,第二类解是具有轴对称的解.最后,作为这种流的特殊解,定义了稳定双曲Yamabe孤子,而且得到了这种孤子解所满足的方程.

双曲松弛粘性Cahn-Hilliard方程的有限元算法

本文研究双曲松弛粘性Cahn-Hilliard方程的混合有限元数值算法.求解具有双曲松弛项和双阱势能的粘性Cahn-Hilliard方程时,在时间上采用一阶半隐格式进行离散,在空间上采用混合有限元方法进行离散.通过严格的理论分析证明了数值格式的无条件能量稳定性和误差估计,并利用数值实验验证了该方法的有效性.

线性阻尼Boussinesq方程解的Phragmén-Lindelof二择一性

研究一类含有双调和算子的双曲方程解的空间性态.利用能量方法,构造一个能量表达式,推导出该能量表达式所满足的二阶微分不等式,通过求解该不等式,得到解的Phragmén-Lindelof型的二择一结果.该结果表明,Saint-Venant原则对于线性阻尼Boussinesq方程同样适用.

有限图上高阶Yamabe型方程的非平凡解

该文研究了以下高阶Yamabe型方程Lm,pu−g|u|^p−2u=λf|u|α−2u在有限图上的非平凡正解的存在性,其中Lm,p是一个2m阶差分算子,它是一种p次(−Δ)^m算子更一般化,α≥p≥2,g>0和f>0是定义在G的所有顶点上的实函数,m≥1是一个整数.

双曲 Kenmotsu 流形上的近 Yamabe孤立子

利用 Lie 导数算子,协变微分算子以及共形向量场的性质,证明在具有双曲 Kenmotsu 结构的近 Yamabe 孤立子中, 如果存在光滑函数f,使得切触1−形式η不变,则其势向量场是 Killing 向量场。

黎曼流形上广义Yamabe方程的多重解及对Emden-Fowler方程的应用（英文）

运用变分方法和由Ricceri所建立的关于四个临界点的定理证明了黎曼流形上广义Yamabe方程的多重若揭的存在性.作为应用,考虑在无穷远处包含次线性项的Emden-Fowler方程.

非线性脉冲时滞双曲偏微分方程的振动性

讨论了非线性脉冲双曲偏微分方程解的振动性质,利用微分不等式方法将所讨论的脉冲偏微分方程转化为脉冲时滞微分方程的问题,获得了其一切解不依赖状态脉冲的双曲Robin边值问题解振动的充分性判据;结论将脉冲微分方程的振动性质推广到具时滞的脉冲偏微分方程;同时也指出了脉冲和时滞在振动中的影响作用以及脉冲时滞偏微分方程解的振动性质在生物学、医学、工程学、化学、物理学等学科中的广泛应用。

应用非线性色散关系数值求解双曲型缓坡方程

在经典双曲型缓坡方程的基础上 ,通过引入非线性色散关系 ,使其能够有效地考虑波浪的非线性影响 ,数值格式的改进使方程的数值求解快速高效 .将非线性色散关系和改进后的数值格式用于经典的椭圆形浅滩上的波浪变形计算 ,取得了比较满意的结果 .