特殊图的双罗马控制数的研究

令 G = (V (G), E(G)) 是—个简单连通图,函数 f : V (G) → {0, 1, 2, 3} 满足:1) 如果 f (v) = 0,那么至少存在v 的两个邻点 v1, v2, 使得f (v1) = f (v2) = 2,或至少存在 — 个邻点 u 使得f (u) = 3;2) 如果 f (v) = 1,那么至少存在 v 的—个邻点 u 使得f (u) = 2或3。则称 f 为图 G 的—个双罗马控制函数(DRDF)。—个双罗马控制函数的权值为 f (V (G)) = ∑u∈V (G) f (u)。图 G 的双罗马控制函数的最小权值称为图 G 的双罗马控制数,记作 γdR(G)。权值为 γdR(G) 的双罗马控制函数称为 G 的 γdR - 函数。本文主要给出了一些特殊图如:Pm☒Pn (m = 2, 3),Pn,t,Kn∗,M (Cn),M (Pn) 的双罗马控制数的确切值。

图的双罗马控制数的上界

通过对图的结构分析,利用图参数,如顶点数、直径、最小度以及填装数等,得到了连通图的双罗马控制数的若干新的上界.

双罗马控制数的界

为增强控制系统稳定性和精度,可以通过图论参数来界定图的双罗马控制数,以解决优化问题。文章首先利用双罗马控制数与控制数之间的关系,描述图中赋值为2的顶点个数满足的条件,并根据树的结构性质,给出树中叶子点和支撑点的一个赋值特点。其次引入图论参数,通过参数的概念及特性,得到双罗马控制数与最大度、生成树、3-彩虹控制有关的下界,同时给出双罗马控制数与最小覆盖数、打包数、意大利控制数有关的上界,建立双罗马控制数与图论参数之间联系,进一步表明双罗马控制在刻画图的性质中发挥着重要作用。

图与其导出子图的双罗马控制数的研究

令图G=(V,E)是简单连通图,V和E分别为图G的顶点集和边集。若函数f:V→{0,1,2,3}满足条件:i)对任意一点v∈V,若f(v)=0,存在v1,v2∈N(v),使得f(v1)=f(v2)=2,或存在ω∈N(v),使得f(ω)=3;ii) 对任意一点v∈V,若f(v)=1,存在ω∈N(v),使得f(ω)≥2,则称函数f为图G的双罗马控制函数。图G的双罗马控制函数的权值f(V)是图G中各点权值之和,图G的双罗马控制数是图G双罗马控制函数的最小权值,用γdR(G)表示。本文主要通过构造的方法证明了,对于任意的正整数a和b,都存在一类图G及其导出子图H,使得γdR(G)=a且γdR(H)=b。这个结果表明了一个图的双罗马控制数与其导出子图的双罗马控制数之间没有关系。

图的双罗马控制数的界

定义在图G的顶点集V(G)上的函数f:V(G)→{0,1,2,3}称为G的双罗马控制函数,如果每个赋值为0的顶点至少与一个赋值为3或两个赋值为2的顶点相邻,并且每个赋值为1的顶点至少与一个赋值为2或3的顶点相邻。图的双罗马控制函数的权为所有顶点的赋值之和。双罗马控制函数的最小权称为双罗马控制数。利用顶点数、围长、周长以及最小度得到了含圈图的双罗马控制数的若干上下界。