椭圆焦点三角形中的幂平均不等式及其应用

众所周知,不等式a^(2)+b^(2)2≥(a+b)^(2),a>0,b>0被称为幂平均不等式,其中等号当且仅当a=b时取到,其应用非常广泛。当两数的平方和为定值时,和取最大值。

错在哪里

题目在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.D是BC边上一点(异于端点),AD⊥BC,且AD=BC=a,求b/c+c/b的取值范围.错解令y=b/c+c/b=b^(2)+c^(2)/bc=b^(2)+c^(2)-a^(2)/bc+a^(2)/bc=2cosA+2S_(△ABC)/bc=2cosA+sinA=√5(1/√5sinA+2/√5cosA)=√5sin(A+φ),其中tanφ=2,当A+φ=π/2时,y取最大值√5,又b/c+c/b≥2,当b=c=√5/2a时取最小值2,故b/c+c/b的取值范围是[2,√5].

利用基本不等式求最值的六项注意

对于正实数a,b都有a+b≥2√ab,当且仅当a=b时等号成立,该不等式称为基本不等式.这里需要注意,a>0,b>0,当积ab为定值时,a+b取最小值2 √ab;当和a+b为定值时,ab取最大值((a+b)/2)^2.在应用时需要注意下面几点,分类例析如下.1变负为正若含变量的项是负的,则需要将其转化为正项,再利用基本不等式及其性质解决.