非线性时间分数阶四阶混合次扩散和扩散波动方程的混合有限元算法

本文数值求解了一个二维非线性时间分数阶四阶混合次扩散和扩散波动方程,在时间方向上采用L1-CN格式,在空间上通过混合有限元方法进行离散,并且在此基础上,给出了它的全离散格式。最后针对该数值格式提供了算法过程和数值算例,以及详细的收敛结果。

一种求解时间分数阶非线性抛物型方程的等阶混合有限元

为数值求解时间分数阶非线性抛物型方程,本文提出了一种k次等阶混合有限元.为获得有限元的完全离散格式,本文在时间方向上考虑经典L1格式、在空间方向上使用基于局部投影的稳定混合有限元.本文定义了混合投影并得到了有限元的误差估计.数值算例验证了理论结果 .

能量临界分数阶非线性Schrodinger方程的整体弱解

利用紧性方法给出能量临界分数阶非线性Schr9dinger方程Cauchy问题解的存在性,并证明Cauchy问题存在整体解.通过构造逼近方程,对满足逼近方程的解序列取极限,得到的极限函数即为能量临界分数阶非线性Schr9dinger方程的整体弱解,并证明该弱解满足能量不等式和质量守恒性质.

改进的tan■-展开法和几类非线性分数阶发展方程

运用改进的tan■-展开法,以一阶常系数微分方程为辅助方程,结合齐次平衡原理,研究了非线性分数阶Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov(KZK)方程、非线性分数阶foam drainage方程、非线性分数阶Jimbo-Miwa(JM)方程.借助符号计算系统Maple,求出了方程的多种精确解,这些解包括周期解、孤子解、有理函数解、指数函数解,扩大了解的范围.

二维非线性四阶分数阶波动方程的BDF2-WSGI有限元算法

本文主要研究了二维非线性四阶分数阶波动方程的有效数值算法。通过结合二阶BDF2-WSGI时间离散格式与有限元方法对二维非线性四阶分数阶方程进行求解。首先,引入辅助变量,将分数阶四阶波动问题转化为低阶耦合方程,然后利用Riemann-Liouville分数阶积分对所得方程进行积分,最后使用WSGI逼近公式逼近分数阶积分,形成二阶BDF2有限元格式。本文给出了详细的数值算法,并通过一个二维算例进行了数值试验,验证了算法的有效性和收敛性。

一类六阶非线性扩散方程整体吸引子的存在性

非线性扩散方程的整体动力学行为在某种意义下反应了方程解的稳定性.利用迭代技巧,半群的正则性估计以及先验估计,证明了一类六阶非线性扩散方程在分数阶空间中整体吸引子的存在性.得到,当u_(0)∈H^(k)(Ω)(0≤k≤∞)时,则方程的解u(x,t)在H^(k)(Ω)中存在一个完备的整体吸引子.

初值奇异性非线性分数阶常微分方程的高阶数值方法

考虑非线性分数阶常微方程高阶格式的精确解具有初值奇异性,从而引入初值变量和逐块方法,再利用拉格朗日插值公式,提出一种新的高阶数值格式。该高阶数值格式为非光滑解条件下的5+α阶。

分数阶非线性四阶反应扩散方程变步长L 1格式的能量稳定

基于非均匀L1公式对时间分数阶非线性四阶反应扩散方程建立时间方向变步长的有限差分格式.利用离散互补卷积核,得到非均匀L1公式系数核的梯度分解,从而证明该差分格式在任意非均匀时间网格上保持变分能量耗散率.数值算例验证了格式的精度和有效性.

基于分数阶全变分和扩散模型的图像去模糊方法

图像去模糊是数字图像处理领域的重要研究方向之一.在许多实际应用中,由于成像设备和物体之间发生相对运动,产生的模糊会降低图像质量和视觉效果.本文提出了一种结合分数阶全变分(FTV)损失函数和去噪扩散概率模型(DDPM)的图像去模糊方法 .首先通过基于概率建模的DDPM实现对图像结构信息的增强,然后利用FTV损失函数作为正则项,进一步恢复图像细节.与传统的图像去模糊方法相比,本文方法能够在保持图像整体清晰度的同时,还原更多的图像细节信息.实验结果验证了该方法在恢复受运动模糊影响的图像上具有显著优越性,为图像去模糊领域的进一步发展提供了新方向.

一类时间分数阶反应扩散方程弱解的全局有界性

时间分数阶反应扩散方程是经典非局部反应扩散方程的推广.本文研究了一类时间分数阶反应扩散方程弱解的全局有界性.利用Alikhanov不等式和局部能量估计,本文构造了分数阶微分不等式,结合Mittag-Leffler函数的渐近性质证明了方程解的局部有界性,然后运用分数阶Duhamel公式及其性质对方程求解和放缩,从而将解的局部有界性扩展到全局有界性.本研究克服了已有Duhamel公式的计算量问题,为方程解的全局性的研究提供了新思路.

求解一类时间分数阶扩散方程的深度学习方法

偏微分方程可以用深度学习方法求解,其求解思路是构建损失函数、采集样本点,然后在采集到的时空样本点上利用随机梯度下降法训练神经网络,直接去逼近方程,从而把方程求解问题转化为极小化损失函数的问题.特别地,对时间分数阶扩散方程而言,损失函数刻画了神经网络与方程的分数阶算子、初值条件、边界条件等的逼近程度.常见的损失函数有均方误差损失函数及交叉熵误差函数.理论上,使损失函数减小到零的神经网络就是方程的解.本文证明,用深度学习方法求解时间分数阶扩散方程时均方误差损失函数可以减小到零,且相应的神经网络在解区域上一致收敛到方程的真解,因而此时的神经网络就是方程的解.数值算例验证了理论分析.

一类变指数勒贝格空间中分数阶微分方程两点边值问题解的存在性

研究一类变指数勒贝格空间L p(·)中具有Riemann-Liouville型导数的非线性分数阶微分方程边值问题。利用分段常值函数,将变指数勒贝格空间转化为经典的勒贝格空间,将问题模型转化为等价的第二类Fredholm积分方程,利用Schauder不动点定理,得到了相应边值问题解的存在性结果。

多项时间分数阶扩散方程类Carey非协调元的误差分析

基于L^(1)全离散格式,针对具有Caputo导数的二维多项时间分数阶扩散方程给出了类Carey非协调有限元方法.利用该单元的特殊性质和分数阶导数巧妙的处理技巧导出了L^(2)模和H^(1)模意义下的最优误差估计.

时空分数阶扩散偏微分方程的谱方法

扩散方程是物理学建模最基本的方程之一。研究时空分数阶扩散偏微分方程的谱方法数值求解,时间方向采用Caputo分数阶导数的L1插值逼近格式,构造了原方程在时间方向上的半离散格式,证明了半离散格式解的存在唯一性和稳定性,并给出了误差分析方面结论的相关证明。在半离散格式的基础上,空间方向采用Legendre谱方法离散得到原方程的全离散格式,进一步证明了此全离散格式的解存在且唯一,而是无条件稳定的,并严格证明了数值解与精确解之间的误差方面的结论。

基于L2-1_(σ)格式逼近时间分数阶扩散方程的差分方法及其收敛性分析

针对时间分数阶扩散方程,在时间方向上结合L2-1_(σ)格式,空间上采用二阶中心差分方法进行离散,并对离散格式进行了收敛性和稳定性分析,离散格式和分析方法可以很容易推广到空间高维情形。最后,通过数值算例对L2-1_(σ)格式和L1格式进行了误差和收敛阶的对比,显示出L2-1_(σ)格式在时间分数阶导数逼近上的优势。

基于时间分数阶扩散方程的药物控释初始浓度优化

药物控释系统是指通过调控内部某些设计参数,以达到特定药物释放目标的一种可控释体系。针对基于时间分数阶扩散方程的药物控释体系初始浓度优化问题,采用B样条小波方法求解正问题,采用结合了小生境策略和布谷鸟搜索算法的小生境布谷鸟算法优化不同分数阶下的药物初始浓度,从而近似达到三种预期药物释放目标。对于正问题求解,主要结合Caputo导数和三次B样条尺度函数,建立了一种B样条小波方法的迭代求解格式;对于初始浓度优化问题,引入了反问题研究思路,将药物控释体系的优化设计问题归结为基于分数阶扩散方程的参数辨识问题。为了实现参数反演控制,引入了小生境布谷鸟智能优化算法,反演计算控释体系中的初始浓度,有效地解决了布谷鸟算法易陷入局部极值的问题。针对恒速释放,线性降低释放和非线性释放三种释放目标,给出了最优控制参数设计,数值算例验证了所提方法的有效性。

Caputo-Katugampola时间分数阶扩散方程的数值求解方法

本文研究带Caputo-Katugampola分数导数时间分数阶扩散方程的数值解法: 使用中心差分格 式离散空间扩散顶,采用L1差分格式离散时间分数阶导数。 实验结果表明该方法在空间和时间上 的收敛速度分别为2阶和2 − α阶。

基于分数阶模型的隧道周围土体非线性流变固结分析

考虑隧道周围饱和软土压缩性和渗透性非线性变化,建立二维非线性固结控制方程,引入分数阶Merchant模型考虑土体流变特性影响,采用Douglas-Jone格式的交替隐式差分法对方程进行求解.通过与现有解析解进行对比,验证了本研究解的正确性.利用得到的差分解进行参数分析,研究隧道周围饱和软土的非线性流变固结特性.结果表明,隧道渗漏模式、初始渗透系数和渗透指数对土体固结速率影响较大,透水通道越多、初始渗透系数越大、渗透指数越小,土体固结速率越快,而压缩指数对固结速率的影响较小;渗透各向异性系数对固结速率有较大影响,在进行固结性状分析时,应当充分考虑土体不同方向渗透系数的差异;当考虑土体流变特性时,土体固结速率显著减小,但当初始渗透系数增大到一定程度时,土体流变特性对土层固结速率的影响可以忽略.

一类非线性分数阶q-差分方程耦合系统边值问题解的存在性

考虑了一类非线性Caputo型分数阶q-差分方程耦合系统边值问题。应用Leray-Schauder非线性抉择和Altman不动点定理证明该耦合系统边值问题解的存在性。最后通过例子说明了主要结论在实际问题中应用。

含Caputo-Fabrizio分数阶算子的非线性刚性泛函微分方程Runge-Kutta方法的稳定性

该文针对一类带有Caputo-Fabrizio分数阶算子的非线性刚性泛函微分方程初值问题,利用线性插值技巧离散Caputo-Fabrizio算子,结合求解常微分方程的数值方法,构造了求解该问题的Runge-Kutta方法,给出了在一定条件下方法的非线性稳定性结果.