将局部环R上行列式为±1的阵表为1－对合之积

文献［１］－［７］研究或综述了将域或体上行列式为±１的ｎ阶矩阵表为１－对合之积的问题。本文给出了局部环Ｒ上行列式为±１的ｎ阶矩阵分解为１－对合之积的因子长度的上界。主要结果是：设ｎ≥２，Ａ∈ＧＬｎ（Ｒ），ｄｅｔＡ＝±１，ｒｅｓＡ＝ｒ。则有（１）若Ａ为非伸缩且ｄｅｔＡ＝（－１）ｒ，那么Ａ至多为ｒ个１－对合之积；（２）若ｄｅｔＡ＝（－１）ｒ＋１，那么Ａ至多为ｒ＋１个１－对合之积；（３）若Ａ为伸缩且ｄｅｔＡ＝（－１）ｒ，那么Ａ至多为ｒ＋２个 １－对合之积。