可降阶的高阶微分方程中的一个教学案例

针对本科高等数学课程中可降阶微分方程教学内容的特点以及军队院校育人要求,为了更好地提高学生学习积极性、培养学生数学应用能力,以导弹飞行轨迹问题为切入点设计教学案例,通过创设情景、提出问题,引导讨论、建立模型,归纳分析、引出教学内容,分析讨论、讲解求解方法,回归问题、培养应用能力等五个环节,对教学过程进行重新设计,方便教师使用。

可降阶的高阶微分方程的课程思政

为了研究高等数学中的课程思政,以高等数学课程中“可降阶的高阶微分方程”一节内容为例,探索如何将思政元素无声地融入到课堂中,根据现在社会下学生的学习状态和知识吸收度进行课程设计。通过与传统教学模式相比,将课程思政融入到教学中,有益于集中学生注意力、增强学生的民族自豪感,帮助学生树立正确的人生观价值观,更好地贯彻教书育人、立德树人的教学理念。

一类可降阶的高阶微分方程

本文证明一类高阶微分方程具有某形式非平凡解,从而可以把原方程降低一阶,并具体推导出降阶后的微分方程。

高阶分数阶微分方程边值问题解的唯一性

分数阶微积分是整数阶微积分的推广,主要研究任意阶微分和积分的理论和应用问题,由于其更加适合描述具有遗传和记忆特质的材料与过程,因此广泛用于解决混沌与湍流、随机游走、统计与随机过程、粘弹性力学、电化学等诸多领域所面临的问题。目前,高阶分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性是研究的重点课题之一。本文将借助泛函分析等相关工具,对非线性项含未知函数分数阶导数的边值问题进行深入探讨。首先通过降阶将原边值问题转变成非线性项不含导数的等价边值问题,接着分析Green函数的性质,然后利用混合单调算子不动点定理得到边值问题解的唯一性结果,最后举例说明结果的正确性。

弹性降阶变换及其在求解一类三阶非线性微分方程中的应用

弹性在经济学和工程科学中均有重要理论与实用价值,该文根据弹性的特征,创新性地引入了一种微分变换——弹性降阶变换.通过弹性降阶变换可将一类三阶非线性微分方程化为第二种Weber方程,从而获得此三阶非线性微分方程的解析解.正如积分变换中的傅里叶变换在频谱分析的重要地位,研究了作为微分变换的弹性变换在求解微分方程中的重要作用.该研究成果对扩大非线性微分方程的可解类具有重要意义,为微分方程的求解提供了一个新的思路.

高阶线性微分方程的一种降阶解法

利用分解因式方法，给出商阶线性微分方程一种降阶解法。

非线性分数阶常微分方程的一种新的高阶数值方法

首先利用分段三次插值公式构造了非线性Caputo分数阶常微分方程的高阶一致收敛的数值格式,其次给出了高阶一致收敛的数值格式的理论结果,最后利用数值实验验证了该数值格式的截断误差是4-θ阶。

分数阶常微分方程初值问题的高阶近似

对于整数阶常微分方程的数值解法,如欧拉法、线性多步法等都已有较完善的理论.而对于分数阶微分方程数值方法和误差估计的理论研究相对较少.在这篇文章中,我们考虑最简单的分数阶常微分方程,引进了分数阶的线性多步法,导出了分数阶常微分方程初值问题的高阶近似,证明了其方法的相容性和收敛性,并且给出了稳定性分析.最后给出了一些数值例子,证实了这个分数阶线性多步法是解分数阶常微分方程的一个有效方法.

拟线性分数阶高阶脉冲微分方程边值问题解的存在性

研究了以下一类拟线性分数阶高阶脉冲微分方程边值问题{Dq0+y(t)=A(t,y)y(t)+f(t,y(t),Φy(t),Ψy(t)),■t∈[0,1],q∈(n-1,n],y(i)(0)=0,Δy(i)|t=tk=0,1≤i≤n-2,k=1,2,…,p,Δy|t=tk=Ik(y(t k)),Δy(n-1)|t=tk=Jk(y(tk)),k=1,2,…,p,y(0)=y0+g(y),y(n-1)(1)=y1+∑m-2j=1bjy(n-1)(ξj)解的存在性。通过定义一个压缩映射并利用Banach不动点定理和Krasnoselskii's不动点定理,得到了边值问题存在唯一解和至少存在一个解的充分条件,最后分别给出一个例子来验证主要结果。

高阶分数阶微分方程边值问题正解的存在性

研究了一类非线性分数阶高阶微分方程边值问题正解的存在性,通过对相应分数阶Green函数的研究,并利用Banach不动点定理和Guo-Krasnosel’skii不动点定理,得到方程存在唯一正解和至少存在一个正解的充分条件,最后给出一个例子来验证其中的主要结果.

一类带积分边值条件的高阶时滞分数阶微分方程解的存在性

研究了一类带有积分边界条件的高阶分数阶时滞微分方程解的存在性和存在唯一性问题.首先建立了这类边值问题的格林函数,进而将该问题转化为相应积分算子的不动点问题,利用Leray-Schauder二择一定理得到了该边值问题解存在的充分条件,其次给出了问题解存在唯一性的充分条件,最后通过一个具体的例子对结果进行了说明,补充和完善了已有的研究结果.

n阶常系数非齐次线性微分方程的降阶解法

给出一阶线性非齐次微分方程的积分因子解法,避免了常数变易法带来的不便和不自然;给出n阶常系数非齐次线性微分方程的降阶解法,可以看出,高阶常系数线性非齐次微分方程最终都可以归结为求解一阶线性微分方程,从而避免了待定系数法求非齐次方程特解的繁琐,并最终说明了一般微积分教材中只给出两种类型常系数非齐次线性微分方程的待定系数解法的原因.

二阶常系数线性微分方程的降阶法

考虑二阶常系数线性微分方程的降阶法.首先,写出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程,求出特征方程的两个特征根;然后,利用积分因子乘以微分方程和导数的运算,将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式;最后,将一阶微分形式两边同时积分,求解一阶线性微分方程,可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解.利用降阶法,可以求得微分方程的一个特解或通解.其计算方法简单和方便,在实际中具有应用价值.

三阶常系数线性非齐次微分方程通解的降阶法

将降阶法应用于三阶常系数线性非齐次微分方程,对一般类型的非齐次项形式,给出了上述方程的通解公式,此外还给出了相应的应用例题.

二阶线性微分方程的降阶法

通过待定系数法将二阶线性微分方程降阶为一阶线性方程.

非开次常系数线性常微分方程的解耦降阶技巧

对于非齐次二阶常系数线性微分方程，给出一种普遍适用而简单的降阶技巧，同时也给出求解公式。对于n阶常系数及二阶交系数情形我们也给出相应降阶方法。

两类可降阶的微分方程

介绍了一类具有非平凡解ｘ＝ｅｍｔ的高阶齐线性微分方程，并将其降低一阶；另外，给出了二阶变系数线性微分方程的一个新的可积类型．

利用降阶法解二阶线性常微分方程

一般的二阶变系数线性常微分方程至今尚无普遍的解法.本文给出了利用降阶法解二阶变系数线性常微分方程的方法,提供了通解的表达式,运用文中提出的方法,解文献中的有关方程,其求解过程大为简化.

高阶常系数非齐次线性微分方程的新解法

提出了高阶常系数非齐次线性微分方程y(n)+P1y(n-1)+…+Pny=f(x)(P1,P2,…,Pn是实数)的一种新解法.首先将该方程降为n个一阶非齐次线性微分方程组:y1′-w1y1=f(x),y2′-w2y2=y1,…………………yn′-wnyn=yn-1,其中w1,w2,…,wn是对应的齐次方程的特征方程tn+P1tn-1+…+Pn=0的n个根.然后求出它的通解y=yn,最后得出了求原方程一个特解的迭代公式.

几种可降阶的三阶变系数齐次线性微分方程类型

讨论了三阶变系数齐次线性微分方程可降阶的3个充分条件,它是文献[1～2]中相关结论的改进和发展。