一些涉及二重级数的q-同余式

二重级数的q-同余式是非常稀少的.通过Watson的8φ7变换公式,建立了一些涉及二重级数的q-同余式.当q趋向于1时,其给出了相应的同余式结论.

一类覆盖同余式组的一个应用

建立了一类覆盖同余式组并通过对非负整数n进行分类等方法，给出使k·2n-1对每一非负整n均为合数的K值的计算。最后列出了21个k值，均能使k·2n＋1对任一非负整数成为合数。

关于某一类同余式解的注记

同余式的解的存在性以及解数的问题是初等数论中传统而又核心问题.研究同余式xk≡a(modp)解的问题,其中p=kl+2(k,l∈N)为素数,满足(a,p)=1.给出了解存在的充分必要条件以及解数.

一些包含Fibonacci-Lucas数的恒等式和同余式

给出了一些包含F ibonacci-Lucas数的恒等式和同余式.

解同余式应注意的几个问题

本文将笔者在《数论基础》教学中关于同余式求解的几个问题的思考记叙于后,以便与同行们商讨。

关于同余式2^(n-2)≡1(mod n)的一个注记

若p为同余式2^(n-2)≡1(mod n)的解的素因子,则2×ord_p2.给出了满足n≡1,3(mod 10)的解.该同余式的解的不同素因子的个数无界.

关于同余式2^(n-2)≡1(modn)的解

张明志在他的论文《关于同余式2n-2≡1(modn)的一个注记》(见于四川大学学报,27卷(1990)第2期,132页)中问到同余式2n-2≡1(modn)是否有个位数字为9的解?本文首先列出用计算机在区间[3,3037000499]上搜索得到的所有的解,共有31个,其中只有一个解的个位数字是9,它是三个素因子之积.然后根据张明志给出的关于这个同余式解的一个充要条件,找到了另一个个位数字是9的解(一个12位数),它是两个素因子之积.从而肯定地解答了这个问题.

一类含有调和数的同余式（英文）

该文目的是创建一系列含有调和数的同余式.当p>3为一素数时,利用已有的组合恒等式和同余式,得到了如下的同余式:∑p-1k=1k^2H_k^2≡79/108p-4/9(mod p^2)和∑p-1k=1H_k^3≡23/18(mod p).同时也得到了∑(p-1)/2k=1H_k^2/k≡-8/3q_p^3(2)+1/6B(p-3)(mod p)和∑(p-1)/2k=1H_(2k)~2≡-1+1/2q_p^2(2)(mod p),这里Bn(n∈N)称为Bernoulli数,当pa时,q_p(a)=(a^(p-1)-1)/p称为Fermat商.

关于同余式2^n≡5（mod n）的解

证明了同余式2n≡5(modn)(n>1)在[2,4294967295]中除平凡解n=3外,仅有解n=19147=41.467,以及若m>1满足2m≡5(modm),则n=2m-1是2n-4≡1(modn)的解.

关于覆盖同余式组

用初等方法证明了 :对任给n1>1整数 。

关于同余式2^(n-2)≡1(mod n)的解的注记

我们指出,1991年,Sinisalo已经求出了同余式2n-2≡1(modn)在区间[3,1011]上的所有解,共有88个,其中满足n≡9(mod10)的解n有6个.本文利用计算机,借助Maple软件,得到了该同余式的大于1011的4个解,它们的个位数字是9.

关于同余式nσ(n)≡2(modφ(n))

对于正整数ｎ，设σ（ｎ）、φ（ｎ）分别是ｎ的约数和函数和Ｅｕｌｅｒ函数．复合数ｎ满足同余式ｎσ（ｎ）≡２（ｍｏｄφ（ｎ）），当且仅当ｎ＝４，６或２２．

关于同余式2^n≡4（mod n）

用模幂算法计算出同余式2n≡4(mod n)在3≤n≤1011范围内的所有奇数解.利用由二次剩余推出的一个结论,提高了算法效率,解决了[2]、[3]中提出的一个问题并提出了与此奇数解相关的新问题与猜想.

同余式2^(n-2)≡1(mod n)的一些新解

1991年,Sinisalo求出了同余式2n-2≡1(mod n)在区间[3,1011]上的所有解,共有88个,其中满足n≡9(mod 10)的解有6个.本文证明了,当n<3.462*1014时,同余式2n-2≡1(mod n)不存在有平方因子的解.利用一种新方法,借助计算机的Maple软件,得到了该同余式的9个含有平方因子的解.利用该方法,也可得到该同余式的许多大于1011的新解.

关于覆盖同余式的一个应用

建立了一组覆盖同余式并通过对非负整数n进行分类等方法,给出了使2kp^n+1对每一个非负整数n均为合数的k值,这里素数p=7,13及p≡5(mod6).

等幂和的分解及同余式链

获得了等幂和之间的同余式链，并利用等幂和与判别素数的充要条件，得到了等幂和的分解性质．

关于同余式nσ(n)≡m(modφ(n))

对任给定正整数m ,证明了当 4 m时同余式nσ(n)≡m(modφ(n) )的解数有限 .

关于同余式的未解决猜想

本文收集了作者提出的100个未解决的同余式猜想,其中一些以前从未公开发表过。这是作者预印本arXiv:0911.5665的新版本,删除了原版中已解决的猜想并增添了一些新猜测。这里的许多同余式与素数的二元二次型表示或关于π幂次的级数有关;例如,我们提到两个新的猜测的等式∞∑n=012n+1/100^n(2n n)n∑k=0(2k k)^2(2(n-k)n-k)(9/4)^n-k=75/4π与∞∑k=1 3H^2k-1+4Hk-1/k/k^2(2k k)=π^4/360,其中Hk-1:=∑0<j≤k-1 1/j,并包进了相关的同余式。希望本文能引起数论学家的兴趣并激发出进一步的研究。

关于Fibonacci数的幂与Lucas数的恒等变换与同余式

通过对和式 ∑a+ b=nFm2 a+ 1Fm2 b+ 1( 2 a+ 1 ) !( 2 b+ 1 ) !的研究 ,得出了一些关于 Fibonacci数与 Lucas的恒等变换与同余式 .