向量Bent函数的进一步研究

向量Bent函数在密码学,编码理论和序列设计等领域应用广泛,是一个重要的研究课题。文章旨在通过对向量Bent函数的研究,得出新的向量Bent函数的构造方法。首先通过对Carlet给出的Bent函数的经典非直和构造的研究,将其推广到向量Bent函数上,并给出构造后函数的谱值公式。然后将布尔函数的级联构造方法推广到向量布尔函数上,通过研究函数间的谱值关系,给出级联4个函数得到的向量布尔函数为向量Bent函数的条件。最后得到3类向量Bent函数的二次构造。

一些向量Bent函数的构造

本文利用傅立叶变换函数,找到了两种向量Bent函数的构造方法,同时,给出了二维四元Bent函数的分类以及计数结果。

广义向量Bent函数

该文完善并拓展了Nyberg(1991)的关于广义向量Bent函数性质的结论,相应于Nyberg给出的正则广义向量Bent函数,提出了'负则的广义向量Bent函数'的概念;得到有偶数个输入的负则的广义向量Bent函数输出维数也不大于输入维数的一半:证明了奇数个输入的正则和负则的广义向量Bent函数都不存在,这些结果的给出,可使密码设计者避免一味去寻找某类不存在的函数。该文还给出了广义向量Bent函数的一种递归构造法。

一类PS_(ap)向量bent函数的存在性

Bent函数是非常特殊的组合对象,在序列、差集、编码和密码等领域都有重要应用.近年来,形如Trnk(P(x))的bent函数吸引了大量目光,其中k=1或k=n/2且P(x)∈F2n[x].本文在前人研究的基础上进一步研究二项式函数F(x)=Tr_k^n(x^(2^k-1)+ax(r(2~k-1)))(k=n/2≥2)的向量bent性,其中r为奇数.对于r|2~k+1的情形,本文得到了F满足向量bent性的一个充要条件,从而,对所有n和a∈F_(2~n)~*都完全确定了F的向量bent性.而对于r2k+1的情形,Muratovi-Ribi等(2014)曾提出过不存在此类向量bent函数的猜想.通过引入Lucas公式,对r分别等于5、7、9及所有的n和a∈F_(2~n)~*,本文也完全得到了F的向量bent性.特别地,本文找到了一些反例,否定了Muratovi-Ribi等(2014)提出的猜想.

向量值Bent函数的一个注记

Bent函数是一类重要的组合对象,在密码学,编码,序列和组合数学等方面有广泛应用,可以用来构造S-盒,密码协议,线性码,优良序列和差集等.Bent函数的刻画和构造一直是研究的热点.向量值Bent函数是Bent函数的推广,与Bent函数有广泛的联系,可以使用Bent函数来刻画和构造向量值Bent函数.如何刻画和构造向量值Bent函数是有意义的工作.Ribic等研究了Dillon型向量值函数为Bent函数的各种刻画方法.他们证明了一类单项型Dillon函数不可能是向量值Bent函数,并详细研究了某些二项Dillon型向量值函数,给出了这些函数为向量值Bent函数的必要条件,并猜想某些二项Dillon型向量值函数不可能是Bent的.本文将研究二项型向量值Bent函数,使用向量值Bent函数的性质,解决Ribic等提出的猜想,证明当m不小于4时,他们研究的二项Dillon型向量值函数类中不存在向量值Bent函数.

Bent函数构造方法研究

Bent函数的概念由Rothaus在1976年提出.因为Bent函数既是非线性度最优的布尔函数,又达到了一阶Reed-Muller码的覆盖半径,并且与Hadamard矩阵、差集等组合对象有紧密联系,所以其应用涉及密码、编码、组合数学等多个领域.对Bent函数的研究一直是热门方向,其中包含了大量的关于Bent函数构造的结果.除了布尔Bent函数,在不同的应用背景下还定义了Bent函数的各类推广形式,比如:广义Bent函数、p值Bent函数、向量Bent函数、超Bent函数等.本文对Bent函数的构造方法做一个系统的综述,介绍Bent函数及其各类推广形式的构造,包括广义Bent函数、p值Bent函数、向量Bent函数和超Bent函数.在每一部分的介绍中,着重介绍最具有代表形式的Bent函数,如Maiorana-Mc Farland类、PS(Partial Spread)类、二次型以及一些特殊的指数形式.

(非)弱正则p值bent函数的间接构造

Bent函数在对称密码、序列设计、组合理论和编码理论等领域都有着重要的应用.基于已有的非直和与半直和构造研究方法,本文给出一类bent函数的间接构造.利用所得构造,通过选取合适的初始(向量)bent函数及其组合构造出高代数次数的(非)弱正则bent函数.更准确地,本文借助向量M-M(Maiorana-McFarland)类和PS(partial spread)类bent函数,给出了一些(弱)正则bent函数.特别地,给出了这些bent函数的对偶函数的显式表达式.进一步地,应用向量完美非线性(perfect nonlinear,PN)函数,生成了无限类非弱正则bent函数.