基于数学史的和角公式与均值不等式的几何证明

和角公式、均值不等式是高中数学的重要内容,关于和角公式、均值不等式的证明方法也是多种多样的.本文考查历史上和角公式、均值不等式的几何证明方法,并在此基础上给出一些不同的几何证明方法,探讨数学史对学生直观想象素养培养的重要性.

类比正切的和角公式解题

在数学解题中,常会碰到形如(x+y)/(1-xy)的结构,这时可类比正切的和角公式,进行三角代换,使比较隐蔽的关系显现出来,实现难题巧解,下面举例说明.

从简谐运动合成的视角看三角和角公式

在计算器（机）盛行的今日，如果只是为了求值，那么三角函数的和角公式几乎就没有什么实际“意义”了，因为我们完全可以先将其角求出来，再计算其他任何所需计算的三角函数值．究竟三角函数的和角公式的本质是什么？下面我们作一探讨．

一个和角公式在解题中的应用

公式：sin（α＋β）sin（α-β）=sin^2α-sin^2β（＊） 证明：左边=（sinαcosβ＋cosαsinβ）（sinαcosβ-cosαsinβ）=（sinαcosβ）^2-（cosαsinβ）^2=sin^2αcos^2β-cos^2αsin^2β=sin^2α（1-sin^2β）-cos^2sin^2β=sin^2α-sin^2αsin^2β-cos^2αsin^2β=sin^2α-（sin^2α＋cos^2α）sin^2β=sin^2α-sin^2β=右边.得证.

三角中和角公式的新证法

中学数学教材中,关于α±β的三角函数公式——和角公式,曾有过几种不同的体系.早些时候的公式体系是在特殊情况下得到的,不具有一般性.现行高中教材中所采用的先推出 cos（α+β）,再得出 cos（α-β）等其它和角公式,从而形成体系,虽说解决了α、β任意性问题,但只是一句话带过.(见新版高中数字第一册下 P35)要说清楚这句话,还得多费一点口舌.鉴于向量代数已列入高一新教材,笔者介绍一种基于向量的数量积定义及坐标表示,给出公式

正切和角公式的变形应用

在三角函数的教学过程中,有很多公式,但学生更多的是顺用,逆用这些公式,而忽略了对公式的变形应用.因此,加强对公式的变形应用,不仅可以熟练、灵活地掌握公式、开阔视野,而且体现了数学本身并不是枯燥的公式,而在于它内在的美.这里就谈谈正切和角公式的变形应用.正切和角公式的变形公式:tgA+tgB=tg(A+B)(1-tgA·tgB)1.求值:

n倍角三角函数公式的推导及应用

三角函数是数学中一种常见的关于角度的函数，而倍角公式（包括二倍角、三倍角等）是三角函数中常用的一组公式，通过角A的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角纠的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。二倍角公式均可通过和角公式推出。在现行的数学教材中，也推导了三倍角的正弦函数和余弦函数公式，进而可以求得三倍角的正切函数公式。那么对于任意n倍角三角函数公式该如何推导，它们有怎样的普遍规律和变形公式呢？下面将逐步推导并介绍它们的应用。

二倍角公式的灵活应用

二倍角的正弦、余弦、正切公式是和角公式的特例,二倍角公式反映了倍角与单角的函数关系,它在三角函数的化简、求值、证明中有着广泛的应用。一、正用公式例1已知tan（（π/4）＋α）=1/2。（1）求tanα的值。

和角余弦公式的若干几何模型

通过对教科书探求两角差的余弦公式所籍的简单几何模型的研究，采用不同的方式，建立不同的模型，利用边长的等量关系、向量数量积的定义和坐标表示等相关知识辅助解题，揭示了两角和的余弦公式的简单几何背景．

托勒密定理(Ptolemy’s theorem)与“两角和之正弦”公式

托勒密是古希腊著名的天文学家兼数学家,生于公元85年,死于公元168年,常年居住在亚力山卓城,曾在缪斯神庙进行过研究,远祖为托勒密王(从公元前323年至公元前30年,埃及王朝之诸王皆属于希腊种族)。而他本人不是埃及的皇族,而只是宫廷数学家群的一名成员。

利用三角恒等变换求最值问题

三角恒等变换就是利用诱导公式、同角三角函数关系、和角公式、差角公式、倍角公式等,将与三角函数有关的解析式从一种形式恒等变形为另一种形式。三角恒等变换主要用于求值、化简和证明。

三角恒等变换中的构造角问题

三角恒等变换中最常见的一类问题是已知一个角的三角函数值,求另一个角的三角函数值,这类问题的一般处理方法是直接用和角公式或差角公式展开求解,但是对于一些特殊的形式,需要用构造角的方法来处理,下面举例分析,以供同学们学习与提高。

三角教材还需改进

笔者在中根据传统教材:把“讲诱导公式的目的,在于求任意角的三角函数值”的片面性观点,提出了诱导公式是恒等变换公式的主张.并论证了诱导公式有恒等变换角、函数名称、甚至于函数前面的符号的特殊功能,把诱导公式当恒等变换公式来思考问题,可以扩大其他三角公式的直接应用范围.

三角恒等变换的基本思路

三角恒等变换就是利用诱导公式、同角三角函数关系式、和角公式、差角公式、倍角公式、和积互化公式等,将与三角函数有关的解析式从一种形式恒等变形为另一种形式,主要用于求值、化简和证明。其基本思路是从角的特征入手、从函数类型入手、

“余弦定理”教学设计方案

1课题：余弦定理（苏教版必修5第一章第2节）2教学内容分析余弦定理是“纵横”知识网络上的一个重要结点，纵向发展的知识：勾股定理——余弦定理——秦九韶公式——海伦公式；横向联结的知识：和角公式、正弦定理及三角形面积公式．余弦定理承前的基础知识有勾股定理、向量基础知识、三角函数定义、诱导公式、和角公式、正弦定理及三角形面积公式，这些都是建立余弦定理的知识储备，后续的知识有正余弦定理的应用及其拓展内容秦九韶公式与海伦公式．同时，余弦定理可推导证明和角公式、正弦定理等，使三角内容紧密联结成一个完整的知识体系．

构造单位圆及其切线巧妙解题的若干范例

中学生最早接触单位圆概念，是在学习三角函数时，构造单位圆来证明余弦函数的和角公式，接着利用单位圆构作三角函数图像，确定在已知三角函数值的范围条件下角的范围，但在具体的解证应用方面却少有涉及．实际上，巧用单位圆性质，可以很好地解决一些等式及不等式的证明问题，下举数例说明之．

浅析三角函数辅助角公式的应用

在高中数学教材中,三角函数是数学内容中重要的一部分,也是较难理解的知识体系.在这个体系中,和角公式基础上的辅助角公式应用较为广泛,也较为重要,而辅助角公式在某种程度上和y=Asin（ωx＋φ）相联系使用,笔者在引入单位点的基础上联系总结，以便理解和应用．

巧用正、余弦有界性解题

例1已知sinαsinβ=1，求cos（α＋β）的值． 分析求cos（α＋β）运用和角公式，根据条件sinαsinβ=1，直接求cosα cosβ，显得较困难．若从有界性，即｜sinα｜≤1，｜sinβ｜≤1出发，则可迎刃而解．