哥德尔定理正反观

哥德尔不完全性定理（包括第一和第二定理）已广为人知，对于它有不少的通俗介绍和议论，或文章或书籍，甚至在互联网上，也积累了大量的公众评说。人们经常把它与海森堡的不确定性原理等相提并论，在数学、哲学、心理学、甚至一般的文化与生活中探讨它的意义。

重审哥德尔思想

本文的主要内容来自《哥德尔纲领》(复旦大学出版社,2018年)一书的序言,在这里做了适当的修改,同时增补了该书第四章的有关内容,主要目的是强调当前哲学界对哥德尔思想的研究还很不够,许多深刻的思想尚待发掘。同时,我们也意识到,哥德尔思想备受冷落的根源在于它不属于当代哲学的任何一个范式。跳出已有的藩篱,在数学实践中寻找哲学的灵感也许是理解哥德尔的一把钥匙。

哥德尔不完全性定理的证明过程有误

简述了哥德尔第一不完全性定理和哥德尔第二不完全性定理,通过论证证明哥德尔的两个不完全性定理的证明过程有误。

哥德尔不完全性定理与人类对创造性的追求——侯世达对哥德尔不完全性定理哲学意蕴的阐释

哥德尔不完全性定理涉及人类理性、思维规律并被广泛应用于数学、哲学、语言学、心理学、人工智能等各个领域。因此,围绕着对其哲学意蕴的理解,在上述各个领域都爆发了激烈的争论。美国科学家霍夫斯塔特(即"侯世达")认为,包括理性认识和艺术创造在内的人类智慧在其形式化方面都是受到限制、有其边界、不可完全的,而其不完全性则意味着需要创造和创造性,需要突破现有界限,同时也意味着进行这种自由创造的无限可能性。

哥德尔不完备定理的不可判定性

如果将无意义对角化语句视为被证明的对角化语句,哥德尔不完备定理在一阶理论中就是成立的.如果将有意义对角化语句视为被证明的对角化语句,哥德尔不完备定理在一阶理论中就是不成立的.由于哥德尔不完备定理在一阶理论中既是成立的又是不成立的,所以哥德尔不完备定理就变成了一个不可判定的一阶理论.

正确理解哥德尔不完全性定理

借澄清对哥德尔不完全性定理若干误解的机会,以直观与简明的方式阐述哥德尔不完全定理的内容、意义及哥德尔的相关工作。哥德尔不完全性定理包括两个内容:第一,一个不弱于初等数论的形式系统,如果一致,则不完全;第二,这样的形式系统如果一致,则这种一致性在系统内不可证。

哥德尔与胡塞尔:观念直观的共识

逻辑经验主义和胡塞尔现象学所开创的维也纳传统新方向对哥德尔产生重要的影响。卡尔纳普和哥德尔都倾向于柏拉图主义的立场。卡尔纳普指出胡塞尔的"本质观视"概念是一种指向"无时间的本质"的经验方式。哥德尔是数学柏拉图主义者,主张不叙述历史。卡尔纳普和哥德尔不同之处在于,卡尔纳普对语言形式化及其结果做唯名论和约定论的理解,将数学与逻辑的公理理解为一种人类智力的发明而非发现。哥德尔指出,胡塞尔现象学观念论为他客观主义立场找到了一个认识论的基础,两人方法论的共同特征是"直觉逻辑主义"。但是,哥德尔将观念直观"顿悟"的体验视作一种尚未获得、但可以追求的境界,用"精确"来表达自己的哲学理论追求,并且证明精确的完备性是不可能的。在胡塞尔那里,观念直观是一种对思考对象之本质的领悟,现象学属于意识哲学而非身体哲学,他始终将哲学对真理的观念化的指明称作"严格的",而且严格的完备性被胡塞尔指明为是可能的。哥德尔哲学上的敏锐性足以引导他发现可证性和真理之间的差异,但还不能够促使他认识到真理的"严格"而不"精确"。

算法、图灵机、哥德尔定理与知识的不确定性

知识论一直在寻求对知识的确定性作一般算法式的逻辑证明的辩护。然而 ,即使在处理抽象的数量概念的数学基础研究中 ,也不能达到最终逻辑证明的确定性。图灵对停机问题的算法步骤的否定回答、哥德尔定理对真理的“不可证明性”的确立 。

哥德尔不完备性定理的科学哲学透视

从认识论高度对哥德尔不完备性定理潜在的科学和哲学价值展开分析,认为它揭示了人类理性以及一切理性文明成果都具有局限性。在此基础上,进一步讨论了知识的不确定性问题,并指出科学结论只具认识论意义而无本体论意义,但知识的有效性并不因此而丧失。

禁止使用自指代命题——说谎者悖论的排除和哥德尔定理的讨论

应把“自指代命题”从“自指命题”中区分出来,前者违反同一律,作代换还可能违反矛盾律,因此禁止使用自指代命题。对内容不明的自指命题作真假对错的评判,不可能给出确定的结论,但也不会出现矛盾。说谎者悖论是一个佯悖。它被称为悖论,是因为推理者混淆了思维的层次,构造了自指代命题并进行代换才导致矛盾。哥德尔不完全性定理所构造的自指代命题的可证性存在矛盾的双重标准,定理的证法中共用了矛盾的双重标准,其结论值得商榷。结论中的“不可判定”命题,现在有三种不同的错误解释:是非不可分辨的命题(三值)、是非可分辨但不确定的命题(二值)、除自指代命题之外的是非都不可证的其他命题,它们都不是哥德尔的证法所支持的结论。它导致“真理丧失说”和“数学丧失了确定性”缺乏依据。

从哥德尔定理看法学研究

哥德尔定理揭示了在形式系统中:第一,系统的完全性与一致性是难以兼容的;第二,系统的一致性在本系统内是无法得到证明的。这两个结论对于法学研究来说具有一定的启示意义。它从逻辑哲学的角度解释了法学流派层出不穷的原因,解释了在法学研究中为什么应当把科学主义同人文主义结合起来,以及为什么要注重对“法学学”的研究。

从哥德尔定理看禅宗的元逻辑思想

本文主要从分析哥德尔定理及其逻辑思想出发,来探讨中国禅宗中所蕴涵的元逻辑思想。这种思想,就是在《金刚经》、《坛经》及众多禅宗语录中所体现出来的那些双遣双非证悟方法论思想。如果从逻辑的角度看,它反映其实就是一种特殊意义上的“哥德尔定理”的思想蕴涵。在当代西方科学界已经开始关注禅宗思想的科学阐述的情况下,我们应该珍惜历代禅师留下的十分宝贵的智慧财富,并借此来反思当代逻辑学,乃至科学方法论的困境。

心目——哥德尔的数学直觉与胡塞尔的观念直观

哥德尔从20世纪50年代末开始全面研究胡塞尔,主要集中在其观念直观的方法上面,并从中得出积极的结论:概念是可以感知的。对胡塞尔主张的观念直观,原则上至少可以从三个现象学角度出发来考察:意向活动—意向相关项,意向活动中的立义材料,意向活动中的立义形式。在哥德尔的相关研究中,这三个角度都或轻或重地有所触及,而且以他的方式得到描述。哥德尔对他的这些研究结果始终保持沉默,这当然有他自己的理由。

哥德尔针对物理主义的一个论证

本文讨论哥德尔吉布斯演讲中针对物理主义的一个论证,我们称之为"哥德尔析取式论证"(GDA)。除了强调GDA是一个值得分析哲学家重视的哲学论证外,我们还讨论了物理主义针对GDA可能的反驳以及站在哥德尔立场上对这些反驳的回应。

从代数不等式的非反演算看哥德尔的第一不完全性定理

从代数不等式的负号运算中,归纳出其否定主词序对和关系谓词而不否定真值词的规律。又从逻辑否定(■)代数不等式的运算中,揭示出其否定量词、质词和真值词而并不否定主词序对和关系谓词的规律。由此说明了哥德尔第一不完全性定理对包含了扩充自然数后的形式系统并不适用,从而引进了彻底根治一阶逻辑形式系统不完全性的基于负号(-)而推广的辩证否定算子(～)。

基于哥德尔β函数的数据加密

数据加密是计算机安全技术中重要的研究方面 .文根据哥德尔β函数的构造思想 ,提出了现代计算机中一种数据加密的方法 ,详细说明了数据加密的全部流程 。

论哥德尔语句的维特根斯坦疑难——未提及自身的算术命题何以谈论自身?

维特根斯坦就哥德尔语句G提出了如下疑难,这个并未提及自身的算术命题何以竟会谈论自身?借助特定元数学关系的计算机可判定性及其特征函数的算术可定义性进行深入分析,即可得出以下结论:G非但没有提及自身,甚至也没有谈论自身,而只不过是涉及了自身——是G的推论在谈论G。

对哥德尔定理的辩证逻辑形式化解读

逻辑矛盾仅是"量词-质词-真值词"皆矛盾的非等值关系命题,辩证矛盾仅是"主词-谓词-命题词"皆矛盾的等值关系命题。在以事实验证了一元与二元真值函数的断定一致性和能指完全性基础上,说明哥德尔定理对包含扩充自然数后的代数理论并不适用。为了实现形式系统可兼容的一致性和完全性,必须引进所指有辩证矛盾和断言无逻辑矛盾之"指断合一"的哲学对象论。由此用基于负号而推广的辩证否定算子,才能彻底根治一阶逻辑形式系统的不完全性。

哥德尔的辩证思维与不完全性定理证明

通过对哥德尔不完全性定理的证明语境和证明思维过程进行分析,可以从四个方面揭示出哥德尔思维方式的辩证性。这四个方面分别是:概念的相互隶属、问题的嬗变、系统与系统的同构转换以及悖论结构的转换和利用。