算法、图灵机、哥德尔定理与知识的不确定性

知识论一直在寻求对知识的确定性作一般算法式的逻辑证明的辩护。然而 ,即使在处理抽象的数量概念的数学基础研究中 ,也不能达到最终逻辑证明的确定性。图灵对停机问题的算法步骤的否定回答、哥德尔定理对真理的“不可证明性”的确立 。

禁止使用自指代命题——说谎者悖论的排除和哥德尔定理的讨论

应把“自指代命题”从“自指命题”中区分出来,前者违反同一律,作代换还可能违反矛盾律,因此禁止使用自指代命题。对内容不明的自指命题作真假对错的评判,不可能给出确定的结论,但也不会出现矛盾。说谎者悖论是一个佯悖。它被称为悖论,是因为推理者混淆了思维的层次,构造了自指代命题并进行代换才导致矛盾。哥德尔不完全性定理所构造的自指代命题的可证性存在矛盾的双重标准,定理的证法中共用了矛盾的双重标准,其结论值得商榷。结论中的“不可判定”命题,现在有三种不同的错误解释:是非不可分辨的命题(三值)、是非可分辨但不确定的命题(二值)、除自指代命题之外的是非都不可证的其他命题,它们都不是哥德尔的证法所支持的结论。它导致“真理丧失说”和“数学丧失了确定性”缺乏依据。

从哥德尔定理看法学研究

哥德尔定理揭示了在形式系统中:第一,系统的完全性与一致性是难以兼容的;第二,系统的一致性在本系统内是无法得到证明的。这两个结论对于法学研究来说具有一定的启示意义。它从逻辑哲学的角度解释了法学流派层出不穷的原因,解释了在法学研究中为什么应当把科学主义同人文主义结合起来,以及为什么要注重对“法学学”的研究。

从哥德尔定理看禅宗的元逻辑思想

本文主要从分析哥德尔定理及其逻辑思想出发,来探讨中国禅宗中所蕴涵的元逻辑思想。这种思想,就是在《金刚经》、《坛经》及众多禅宗语录中所体现出来的那些双遣双非证悟方法论思想。如果从逻辑的角度看,它反映其实就是一种特殊意义上的“哥德尔定理”的思想蕴涵。在当代西方科学界已经开始关注禅宗思想的科学阐述的情况下,我们应该珍惜历代禅师留下的十分宝贵的智慧财富,并借此来反思当代逻辑学,乃至科学方法论的困境。

哥德尔定理正反观

哥德尔不完全性定理（包括第一和第二定理）已广为人知，对于它有不少的通俗介绍和议论，或文章或书籍，甚至在互联网上，也积累了大量的公众评说。人们经常把它与海森堡的不确定性原理等相提并论，在数学、哲学、心理学、甚至一般的文化与生活中探讨它的意义。

对哥德尔定理的辩证逻辑形式化解读

逻辑矛盾仅是"量词-质词-真值词"皆矛盾的非等值关系命题,辩证矛盾仅是"主词-谓词-命题词"皆矛盾的等值关系命题。在以事实验证了一元与二元真值函数的断定一致性和能指完全性基础上,说明哥德尔定理对包含扩充自然数后的代数理论并不适用。为了实现形式系统可兼容的一致性和完全性,必须引进所指有辩证矛盾和断言无逻辑矛盾之"指断合一"的哲学对象论。由此用基于负号而推广的辩证否定算子,才能彻底根治一阶逻辑形式系统的不完全性。

说谎者悖论的排除和哥德尔定理的质疑

说谎者悖论是一个佯悖。它之所以被称为悖论,是因为推理者混淆了思维的层次,构造了自指代命题并进行代换才导致矛盾。把"自指代命题"从"自指命题"中区分出来,指出前者违反同一律,作代换还可能违反矛盾律,主张禁止使用自指代命题。还指出哥德尔所构造的自指代命题存在矛盾的双重标准,它的证法采用了双重标准,是错误的。哥德尔定理的结论中的"不可判定"命题,现在有3种不同的错误解释:是非不可分辨的命题(三值)、是非可分辨(二值)但不确定的命题、是非都不可证的任意命题,它们都不是哥德尔的证法所支持的结论。还指出它不会导致"真理丧失说"和"数学丧失了确定性",但还应充分肯定哥德尔的历史功绩。

从哥德尔定理看法学研究

哥德尔定理揭示了在形式系统中,首先,系统的完全性与一致性是难以兼容的,其次,系统的一致性在本系统内是无法得到证明的。这两个结论对于法学研究来说具有一定的启示意义。它从逻辑哲学的角度解释了法学流派层出不穷的原因,解释了在法学研究中为什么应当把科学主义同人文主义结合起来,以及为什么要注重对“法学学”的研究。

论哥德尔定理与美本质

用哥德尔定理解读美本质,以逻辑推理方式,论证了没有千古不变的美本身,确证了美本质的开放性及美学的合法性。

自指、悖论与哥德尔定理

一般悖论都以自指概念为基础,然而自指并不必然导致悖论。受悖论启发,哥德尔定理最重要的步骤之一是构造了自指的语句,但并没有导致矛盾,关键在于哥德尔在构造自指语句时区分了真与可证、给定系统的可证性与系统外的可证性等概念。

哥德尔定理与逻辑认知进化

哥德尔定理是20世纪现代逻辑科学的三大成果之一,在自然和人文社会科学领域被广泛引用和阐述。其所揭示的不完全性,不仅存在于数学或逻辑系统之中,而且普遍存在于人类使用的语言符号之中。此后,逻辑理论和分析方法发生了重大变革,影响了西方哲学的发展形态。从进化与辩证的角度来看,哥德尔定理不应该被绝对化,人类认知是不断发展的过程;在科学实践中,系统不断通过逻辑进化来解决问题,理性逻辑思维与直觉思维是辩证统一的。

从代数不等式的非反演算看哥德尔的第一不完全性定理

从代数不等式的负号运算中,归纳出其否定主词序对和关系谓词而不否定真值词的规律。又从逻辑否定(■)代数不等式的运算中,揭示出其否定量词、质词和真值词而并不否定主词序对和关系谓词的规律。由此说明了哥德尔第一不完全性定理对包含了扩充自然数后的形式系统并不适用,从而引进了彻底根治一阶逻辑形式系统不完全性的基于负号(-)而推广的辩证否定算子(～)。

也谈正确理解哥德尔不完全性定理——与陈慕泽先生商榷

就陈慕泽先生对《禁止使用自指代命题》关于哥德尔不完全性定理的质疑提出的批驳做出回应。认为陈先生回避要害,无视作者对哥德尔证明中双重标准之矛盾的分析和揭露,其批驳存在自相矛盾、循环论证和转移辩题的问题。还专门采用陈先生的符号,对哥德尔定理结论1和2的证明进行分析和批判,再次解释哥德尔定理的结论可以完全正确,但应该理解成:哥德尔所构造的不可判定公式违反逻辑,必须禁止在无矛盾的形式系统中使用。同时,还分析了现有主流学派对哥德尔定理结论的种种误解,提出重建逻辑学公理系统的主张。

哥德尔定理证明对自指悖论的化解及其自组织涌现机理

哥德尔定理证明的核心思路可以概括为以化解"说谎者悖论"中蕴含的"真假自指悖论"为目标,区分思维层次,发现新概念/逻辑(即"可证"概念)的创新过程,这一"利用悖论""消解悖论"的过程可以用思维的自组织涌现机理进行系统概括。在分析总结哥德尔定理证明过程对自指悖论化解机制的基础上,结合自组织分析框架,分别从系统自组织的形成条件、内部诱因、动力机制、涌现形成、演化机制5个方面分别对哥德尔定理证明的自组织涌现机理进行具体阐释。

正确理解哥德尔不完全性定理

借澄清对哥德尔不完全性定理若干误解的机会,以直观与简明的方式阐述哥德尔不完全定理的内容、意义及哥德尔的相关工作。哥德尔不完全性定理包括两个内容:第一,一个不弱于初等数论的形式系统,如果一致,则不完全;第二,这样的形式系统如果一致,则这种一致性在系统内不可证。