哥德尔不完全性定理的证明过程有误

简述了哥德尔第一不完全性定理和哥德尔第二不完全性定理,通过论证证明哥德尔的两个不完全性定理的证明过程有误。

哥德尔不完全性定理与人类对创造性的追求——侯世达对哥德尔不完全性定理哲学意蕴的阐释

哥德尔不完全性定理涉及人类理性、思维规律并被广泛应用于数学、哲学、语言学、心理学、人工智能等各个领域。因此,围绕着对其哲学意蕴的理解,在上述各个领域都爆发了激烈的争论。美国科学家霍夫斯塔特(即"侯世达")认为,包括理性认识和艺术创造在内的人类智慧在其形式化方面都是受到限制、有其边界、不可完全的,而其不完全性则意味着需要创造和创造性,需要突破现有界限,同时也意味着进行这种自由创造的无限可能性。

正确理解哥德尔不完全性定理

借澄清对哥德尔不完全性定理若干误解的机会,以直观与简明的方式阐述哥德尔不完全定理的内容、意义及哥德尔的相关工作。哥德尔不完全性定理包括两个内容:第一,一个不弱于初等数论的形式系统,如果一致,则不完全;第二,这样的形式系统如果一致,则这种一致性在系统内不可证。

哥德尔的辩证思维与不完全性定理证明

通过对哥德尔不完全性定理的证明语境和证明思维过程进行分析,可以从四个方面揭示出哥德尔思维方式的辩证性。这四个方面分别是:概念的相互隶属、问题的嬗变、系统与系统的同构转换以及悖论结构的转换和利用。

也谈正确理解哥德尔不完全性定理——与陈慕泽先生商榷

就陈慕泽先生对《禁止使用自指代命题》关于哥德尔不完全性定理的质疑提出的批驳做出回应。认为陈先生回避要害,无视作者对哥德尔证明中双重标准之矛盾的分析和揭露,其批驳存在自相矛盾、循环论证和转移辩题的问题。还专门采用陈先生的符号,对哥德尔定理结论1和2的证明进行分析和批判,再次解释哥德尔定理的结论可以完全正确,但应该理解成:哥德尔所构造的不可判定公式违反逻辑,必须禁止在无矛盾的形式系统中使用。同时,还分析了现有主流学派对哥德尔定理结论的种种误解,提出重建逻辑学公理系统的主张。

民主的路径:哥德尔不完全性定理的视界

一个不弱于初等数论的形式系统如果是一致的,则是不完全的。哥德尔不完全性定理明确揭示和证明自己把握“真”的能力限度。在这一点上,达尔似乎和哥德尔心心相通,拥有哈耶克式的知识论。达尔的多元主义民主通过多元因子的协同作用,使民主的影象越来越清晰。达尔对理性抱有深深的疑虑,因而不曾也不敢建构一个完美的形式系统以建构完美民主。民主从达尔开始具有了合理性。从乌托邦的纯粹民主步向了经验的协商民主。多元主义民主的合法性在博弈协商的过程中得以展现。

哥德尔不完全性定理和“心灵与机器”的关系问题

一些文献在阐述哥德尔不完全性定理的证明过程时,对一些技术细节没有做出明确说明,容易使人误解,因此需要对证明过程中ω一致性、系统外证明、元语句可表达性等作出强调。通过系统外证明的启示,分析了由哥德尔定理引起的有关心灵与机器(计算机)关系的争论,得出心灵优于所有目前原理计算机的论点。

基于直觉主义对哥德尔不完全性定理的评论——从维特根斯坦的评论开始

维特根斯坦对哥德尔定理的评论一向为人们所诟病。基于直觉主义,维特根斯坦的评论可以得到更好的理解。在直觉主义者看来,康托尔的对角线证明方法是不适当的,因为在证明中基于可数集定义的康托尔数是一直处于构造之中的,而且可数集与康托尔数的展开是相互追随的。证明中的矛盾不是来自前提错误,而是来自不正当的对康托尔数的定义和使用。同样,哥德尔定理证明中得到的矛盾是来源于哥德尔对哥德尔公式的不正当定义和使用。这一结论还可以推广到递归函数和图灵机这些等价的计算模型。

哥德尔不完全性定理剖析

介绍了哥德尔不完全性定理,论述了它的由来与意义。

浅谈反证法的可操作性——基于康托尔对角线法、哥德尔不完全性定理、图灵停机问题及EPR悖论

一直以来,康托尔对角线法总是与反证法密不可分,然而反证法并不如通常看得那样简单。文章从操作主义的观点,针对反证法提出了几点可操作性的要求,然后分析了几个著名的反证法论证,发现都不同程度地存在一些问题。由于不恰当的隐性假设,康托尔关于实数集不可数的证明是无效的。哥德尔为证明不完全性定理而引入的一个定理违反了矛盾律,并且他关于"可证"与"真"的区分实际上是陷入了循环论证。图灵停机问题其实是比较晚近的提法,与图灵的原始论文有较大差别,而且有些证明思路可能还或多或少地误解了图灵。最后,通过分析爱因斯坦的EPR悖论,进一步强调了假设唯一以及事实认定,对于反证法的重要性。

以哥德尔不完全性定理认识偶数哥德巴赫猜想

哥德尔不完全性定理第一次破天荒地分清了数学中"真"与"可证"是两个完全不同的概念,揭示了形式化方法不可避免的局限性。对于偶数哥德巴赫猜想这一未决的数学难题,可以跳出形式化方法的局限性,以一种新的思维去认识它。

计算主义形式系统难题:基于哥德尔不完全性定理的讨论

通过分析基于哥德尔不完全性定理的挑战,认为其对计算主义的批判是不成立的。虽然哥德尔不完全性定理确实可以打击形式系统,但却并不能说明它驳倒了计算主义,因为计算系统不是纯粹形式系统,而是由形式系统与非形式系统共同构成的完整系统,仅从形式系统来理解计算系统是偏狭的。卢卡斯等人对计算主义的反对与其论证背后的哲学预设"人心至上论"有关,从这个预设出发,自然会得出不利于计算主义的结论,而如果给予计算机和人以平等地位的话,并不能得出人心优于机器的结论。

三谈反证法的可操作性——基于蕴涵怪论与哥德尔不完全性定理

文章认为,蕴涵关系"P→Q"基于命题P与Q的真值约定是不可取的,而应该将其定义为有效推理,这样不但可以解决通常所谓的蕴涵怪论,更可以使我们对反证法有新的认识。实际上,由于"已知事实"的被忽略,反证法的两种常见模式——"~P→P,所以P"与"~P→Q,~P→~Q,所以P"——都是存在问题的;为此,在所谓的标准模式中,笔者特别强调了"已知事实"的重要性。最后,通过梳理哥德尔不完全性定理的整个证明过程,发现了三个导致其证明无效的重要因素:(1)根据"定理Ⅴ"推导的式(15)(16)有误,并且两式的"或"关系,被误当作了"与"关系;(2)使用了反证法的不当模式,也即"~P→Q,~P→~Q,所以P";(3)在肯定前件式的假言推理中,由于概念混淆造成了前件被肯定的假象。

四谈由悖论看概念的可操作性——再论“哥德尔不完全性定理”的逻辑矛盾

"从一个矛盾出发,结果可以是任何东西"这个所谓的"万能定理",在根本上就违反了逻辑推理的可靠性原则要求,而哥德尔不完全性定理与这一逻辑错误有密切关系。最后,通过分析欧几里得关于不存在最大素数的证明,指出了反证法可操作性的关键。

哥德尔的一阶逻辑完全性证明的原始版本(英文)

哥德尔的一阶逻辑完全性定理(1929)是数理逻辑的基石。当代的逻辑学学生学习数理逻辑时大都直接接触Henkin(1949)的改良证法,该法简明扼要,并将原证法的"关于可数语言的限制"扩展至"任意基数的语言"。本文用改进的当代逻辑学术语简要重述了哥德尔的一阶逻辑完全性定理的原始证明,这一证明在很大程度上已经为人所遗忘。作者并择要指出原证明中未声明地使用了Knig引理(1926)。

从哥德尔定理看法学研究

哥德尔定理揭示了在形式系统中:第一,系统的完全性与一致性是难以兼容的;第二,系统的一致性在本系统内是无法得到证明的。这两个结论对于法学研究来说具有一定的启示意义。它从逻辑哲学的角度解释了法学流派层出不穷的原因,解释了在法学研究中为什么应当把科学主义同人文主义结合起来,以及为什么要注重对“法学学”的研究。

哥德尔定理正反观

哥德尔不完全性定理（包括第一和第二定理）已广为人知，对于它有不少的通俗介绍和议论，或文章或书籍，甚至在互联网上，也积累了大量的公众评说。人们经常把它与海森堡的不确定性原理等相提并论，在数学、哲学、心理学、甚至一般的文化与生活中探讨它的意义。

对哥德尔定理的辩证逻辑形式化解读

逻辑矛盾仅是"量词-质词-真值词"皆矛盾的非等值关系命题,辩证矛盾仅是"主词-谓词-命题词"皆矛盾的等值关系命题。在以事实验证了一元与二元真值函数的断定一致性和能指完全性基础上,说明哥德尔定理对包含扩充自然数后的代数理论并不适用。为了实现形式系统可兼容的一致性和完全性,必须引进所指有辩证矛盾和断言无逻辑矛盾之"指断合一"的哲学对象论。由此用基于负号而推广的辩证否定算子,才能彻底根治一阶逻辑形式系统的不完全性。

从哥德尔定理看法学研究

哥德尔定理揭示了在形式系统中,首先,系统的完全性与一致性是难以兼容的,其次,系统的一致性在本系统内是无法得到证明的。这两个结论对于法学研究来说具有一定的启示意义。它从逻辑哲学的角度解释了法学流派层出不穷的原因,解释了在法学研究中为什么应当把科学主义同人文主义结合起来,以及为什么要注重对“法学学”的研究。

数学是不可完全的——哥德尔的哲学手稿

数学是不可完全的———哥德尔的哲学手稿刘晓力摘要数学的不可完全性是哥德尔不完全性定理揭示的深刻的数学本质。由此引发的哲学反思是哥德尔建立柏拉图主义数学哲学的坚实基础，同时在各种哲学争论中哥德尔都以这一哲学义蕴空前深刻的数学结果为自己的立场辩护。本文从...