构建曲线系方程简解四点共圆问题

本文向大家介绍构建曲线系方程简解圆锥曲线上四点共圆问题．先介绍几个有关的知识点，再通过几道高考题解读．

由2011年高考浅谈四点共圆问题的解决方法

2011年高考虽早已顺利落下帷幕，但留下余味无穷，通过细细品味，一个很重要的问题浮在了笔者眼前，它就是四点共圆问题．2011年的高考数学试卷有五道题都与此相关，且有四道是大题，这使得笔者兴趣盎然，通过思考，笔者认为解决四点共圆问题至少有以下八种方法可以借鉴．遂写下拙文，

巧用曲线系方程解决四点共圆问题

曲线系是具有某种性质的曲线的集合，合理运用曲线系解题体现了参数变换的数学观点，整体处理的解题策略，以及“基本量”和“待定系数”等重要解题方法，下面结合一道竞赛题浅析四点共圆问题的一种巧解．

曲线系方程统一证明四点共圆问题

圆具有丰富的几何性质,它与三种圆锥曲线的定义及几何性质间有着千丝万缕的内在联系,关于圆的知识及圆的性质在解决圆锥曲线问题中的应用是近年高考命题的良好素材,应引起我们足够的重视.本文主要介绍用曲线系方程证明四点共圆问题,供参考.

用二次曲线系求解四点共圆问题

解析几何是用代数的观点来研究几何问题，体现了用代数方法解决几何问题的优越性，它的条件多，知识点多，由于求解思路清晰，这类题往往“入手容易”，但计算量大，消耗时间长，易出现“答对困难”的情况，所以在解题中，尽量减少计算量，是迅速、准确解题的关键．笔者在最近的教学过程中，发现下面一类四点共圆问题可以用二次曲线系快速获解。

又谈解析几何中的四点共圆问题

文[1]通过对五道高考试题的赏析,帮助同学们对解析几何中的四点共圆问题进来了梳理,笔者拜读后收获良多.同时,在阅读的过程中,笔者发现了这些例题的解答存在一些共性,通过认真思考和总结,行之成文,作为对文[1]的补充.为了方便读者阅读,我们先把相关例题和部分解答过程呈现出来.

发掘教材习题价值,渗透数学探究方法——以一道“四点共圆”问题的教学为例

在数学教学中,教师要充分发掘教材例题和习题,尤其是习题的内涵和价值,引导学生进行丰富而深刻的数学探究活动,充分感悟数学思想和方法。在苏科版初中数学教材中一道"四点共圆"问题的教学中,引导学生探究(发现),凸显了数学探究的一般方法(环节或步骤):观察、猜想、验证、证明。对此,进一步的体会是,数学教学必须注意引导学生"以今度之,想当然",大胆猜想;由"想当然"到"知所以然",小心求证。

话说四点共圆问题

四点共圆是解决平面几何问题的一种重要方法，四点共圆问题是数学竞赛中的常见试题．这类问题的出现，一般有两种形式：一是以四点共圆为证题的目的；二是以四点共圆为解题的手段．

圆锥曲线中四点共圆问题

2011年高考全国卷第21题、2005年湖北卷（理科）第21题和2002年江苏卷（理科）第20题均为圆锥曲线与四点共圆相结合的高考题．由于试题难度大，知识面广，因而高三学生解答较困难．为攻克这一难点，帮助学生掌握解析法证明四点共圆的方法，本文现以一道调研试题为例说明如下．

圆锥曲线上四点共圆充要条件的统一证明与应用

圆锥曲线上四点共圆问题在高考中屡见不鲜,这类试题将圆锥曲线与四点共圆有机地结合在一起,重点考查运算求解能力和推理论证能力,由于问题综合性强、运算量大,大多考生望而生畏,甚至谈＂圆＂色变,不得不选择放弃.笔者曾在文2中介绍了构建曲线系方程来处理圆锥曲线上四点共圆的有效方法,在文3中给出了圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件,并用直线的参数方程分别对椭圆、双曲线和抛物线三种情形——进行了证明,本文笔者再用曲线系方程给出这个充要条件的统一证明,并用这一充要条件来＂秒杀＂圆锥曲线上四点共圆的高考难题和数学问题.

圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件的证明及应用

笔者在教学过程中,遇到了一道高考真题（2014年高考大纲卷文科22题、理科21题）,题目如下：高考真题：已知抛物线C：y2=2px（p〉0）的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且｜QF｜=5/4｜PQ｜.（1）求C的方程;（2）过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l＇与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.此题属于解析几何的难题,第二问具体涉及抛物线上四点共圆问题,参考答案给出的解答是一种常规解法.

解析法证四点共圆

解析几何中关于四点共圆问题在高考中频频出现，而这类问题处理起来往往比较复杂，本文介绍一下关于这类问题的证明方法．

四点共圆证明方法探究

解析几何中关于四点共圆问题在高考中频频出现，而这类问题处理起来往往比较复杂，本文介绍一下关于这类问题的证明方法．

椭圆中四点共圆的证明

题目1平面直角坐标中有A（0，1），B（2，1），C（3，4），D（-1，2）四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？这是一个关于四点共圆的问题．2011年高考全国大纲卷第21题就是以椭圆为背景、这道课本习题为雏形的四点共圆问题，本文从各个不同角度给出这道高考题的五种证法．

解析几何中证明四点共圆的四种方法

圆具有丰富的几何性质，它与三种圆锥曲线之间有着千丝万缕的内在联系．圆的性质的应用是近几年高考命题中体现“在知识交汇点设计问题”这一思路的良好素材，应引起我们足够的重视．本文介绍证明四点共圆问题的四种方法，供同学们参考．

构造曲线系方程,证明四点共圆

用曲线系方程证明四点共圆问题，就是先用参数A建立四个点所在的曲线系方程，再依椐圆的方程特点，即x2、y2的系数相等，得到关于A的方程，通过解方程求得A，这样就得到一个圆的方程．此法不但可以证明四点共圆问题，而且可以求得四点所在的圆的方程；若A不存在，则可判断此四点不能共圆．下面举例介绍其用法，供参考．

掌握四点共圆简解中考题

近两年,中考题中的直线型问题中出现了很多四点共圆问题,有些省市在标准答案中直接用了四点共圆证明,在阅卷中,对于学生用四点共圆解题表示赞赏,说明四点共圆在中考的几何解题中是十分重要的。在初中阶段,判定四点共圆的方法有三种,如图1所示。