条分缕析 疑点自明——四点共面问题剖析

一、提出问题 人教版高中数学第二册下（B）第29页共面向量定理推论；空间一点P位于平面ABC内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，

怎样利用向量证明三点共线与四点共面问题

利用向量证明三点共线和四点共面问题是现行高中教材第二册(下 B)中的基本问题,有些学生对这类问题无从下手乱写一通,找不到解决这类问题的关键,其主要问题就在于对利用向量证明三点共线与四点共面的实质不理解,解决这类问题的实质和关键主要是通过证明其所对应的向量共线和共面来解决三点共线和四点共面问题,就是把证明三点共线和四点共面问题转化为证明向量共线和共面问题,其主要理论是两个定理和两个推论及反证法。

四招破解“四点共面”

在高中教学和学习中,“四点共面”是对“三点共线”的进一步延伸,其将对二维问题的认知提高到对三维问题的探究.纵观近几年的高考卷试题和模拟卷试题,四点共面问题在立体几何部分的考察热度有所提升.有鉴于此,本文试图通过梳理解决四点共面问题的方法并将其概括为四招,结合平行、相交直线、向量基本定理以及推论,由浅入深,通过一定的方法引导学生经历问题的发现、证明和应用过程,以期能够进一步提高学生的解题能力以及培养学生数学学科核心素养.

三点共线、四点共面的充要条件

《中学生数学》2012年11月（上）期刊登了《三点共线、四点共面的充要条件》（以下简称文1）一文，作者批判了一些教辅资料上关于三点共线、四点共面充要条件的错误结论，并给出了自己的结论．

三点共线、四点共面的充要条件

人教A版高中数学《选修2—1》第87页给出了如下结论：

巧用向量法证明四点共面——以2020年高考全国卷Ⅲ理科第19题为例

一、题目呈现与解答题目(2020年高考全国卷Ⅲ理科第_(1)9题)如图1,在长方体ABCD-A_(1)B_(1)C_(1)D_(1)中,点E,F分别在棱DD_(1),BB_(1)上,且2DE-ED_(1),BF=2FB_(1).(1)证明:点C_(1)在平面AEF内;(2)若AB=2,AD=1,AA_(1)=3,求二面角A-EF-A_(1)的正弦值.

例析三道四点共面问题

空间中任意三点都属于同一个平面,特别地,当三点不在同一条直线上时,这样的平面有且仅有一个.对于四个(或更多)点,不一定存在平面包含所有的点.如何判断四点是否属于同一个平面呢?常见的方法包括:(1)根据三点确定一个平面,判断第四个点是否属于该平面.

四点共面的充要条件

《中学生数学》在2013年3月（上）期刊登了《三点共线、四点共面的充要条件》一文（以下简称文[1]）,作者指出了《中学生数学》在2012年11月（上）期文《三点共线、四点共面的充要条件》和《中学生数理化（学研版）》在2012年09期文《三点共线的向量表示形式的妙用》这两篇文章中的错误。

点、直线与平面之间的位置关系常见易错点剖析

易错点1：忽视共面的条件例1下列正方体或四面体中,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是（）。错解：应选A或B或C。剖析：忽视点共面的条件以及对面面平行的性质定理理解不透导致错选。对于A,连接P、Q、R、S四点,可知截面为梯形,即四点共面。

利用向量证明共线与共面问题

利用向量证明三点共线和四点共面问题,是现行高中教材中的基本要求.有些学生对这类问题无从下手,原因就在于对利用向量证明三点共线和四点共面的实质不理解,解决这类问题关键就是把证明三点共线和四点共面问题转化为证明向量共线和向量共面问题,其主要理论是两个定理和两个推论。

共面向量定理在立体几何中的应用

共面向量定理：如果两个向量^→a，^→b不共线，则向量^→p与向量^→a，^→b共面的充要条件是存在实数对x，y，使^→p=^→xa＋^→yb．

机器视觉的液压支架姿态角度测量系统设计

介紹了液压支架的各种姿态以及造成液压支架姿态变化的原因,设计了基于机器视觉的液压支架姿态角度测量系统的硬件结构,分析了测量系统软件中各模块的运行流程,并设计了10组实验测量液压支架的航向角、横向角和俯仰角,通过对比实验结果与设定值,验证了该测量系统的准确性和可靠性。

基于极线及共面约束条件的Kinect点云配准方法

Kinect作为轻量级手持传感器,在室内场景恢复与模型重建中具有灵活、高效的特点。不同于大多数只基于彩色影像或只基于深度影像的重建算法,提出一种将彩色影像与深度影像相结合的点云配准算法并用于室内模型重建恢复,其过程包括相邻帧数据的配准与整体优化。在Kinect已被精确标定的基础上,将彩色影像匹配得到的同名点构成极线约束与深度图像迭代最近点配准的点到面约束相结合,以提高相邻帧数据配准算法的精度与鲁棒性。利用相邻4帧数据连续点共面约束,对相邻帧数据配准结果进行全局优化,以提高模型重建的精度。在理论分析基础上,通过实验验证了该算法在Kinect Fusion无法实现追踪、建模的场景中鲁棒性依然较好,点云配准及建模精度符合Kinect观测精度。

从椅子的稳定性到一个数学定理的证明

本文从日常生活中的一个普通现象——如何放稳一把椅子出发,通过建立数学模型,用数学工具证明了这一事实,并由此得到了定义在圆上的空间闭合光滑连续曲线上四点共面定理。

起重机恒抬吊力吊装新技术

文章论述了起重机恒抬吊力吊装法的依据、实施方式和产生偏差的评估与纠正,提出了促进该吊装技术应用的建议。该吊装方法能始终保持各吊点抬吊力恒定,并且通过三吊点和重心构成的四点共面设置解决了抬吊力的分配问题,方法简单可靠。

源于公理 基于推理 再探空间几何体

在平面直角坐标系中,可以借助点的坐标与曲线的方程,用代数的方法研究几何图形的几何性质.在空间中,可以借助空间直角坐标系,用坐标确定点,用三点共线及四点共面条件确定空间中直线与平面的位置,通过代数运算,研究几何元素之间的位置关系和数量关系.

利用一个向量恒等式解决一道征解题

向量兼具代数与几何的性质,在求解向量的相关问题时,常用的解题思路有两类:一是利用向量基本定理,选择恰当的基底表示出所研究的向量,结合向量的运算(线性运算以及数量积)进行求解;二是通过坐标化,利用坐标运算进行求解。在高中阶段,我们也接触过部分与向量相关的恒等式,例如三点共线,四点共面等条件对应的系数和为1等[1],灵活地运用相关的恒等式,能有效地提升解题的效率,发掘问题的本质.