乘积流形的嵌入拉回度量与Killing向量场

在四维乘积流形M4=S2×S2上如何赋予一般的Riemann度量并考虑其相关截曲率能否保持不变号是非常有趣的几何拓扑问题,吸引了不少几何学者的极大关注和探索.本文将从以下三个角度来讨论M4的截曲率:(1)嵌入R6至R9的拉回度量;(2)作极小嵌入F:Σ?R4→S5(2)?R6得到Clifford环面;(3)偶数维紧致Riemann流形的正截曲率度量与Killing向量场的奇异点之间的关系.本文得出在这些情形之下, M4不可回避零截曲率的出现从而支持Hopf猜想.