四阶幻方的变换群

四阶幻方共有7040个不同的形式,在8阶变换群的作用下便可得到880个基础形式.证明了存在1个32阶变换群,并将880个基础形式进一步分成220类.

特殊四阶幻方的变换群

本篇文章考虑了特殊四阶幻方的变换群及幻方分类的问题。通过研究特殊四阶幻方的变换,结合对称群中的置换元素相互作用生成的轮换关系,给出了192阶和384阶变换群。接着利用变换群将特殊四阶幻方进一步分成了不同形式的9类,辅助于计算机程序可以搜索到具体结果。

四阶幻方的一个构造方法

幻方是一个古老而有趣的数学问题,本文将幻方表示成矩阵的形式,利用定义矩阵上的运算,给出了四阶幻方的一个简便的构造方法,并举例说明该方法的便捷之处.

《时轮续》四阶幻方实例研究

古印度人最早做出四阶幻方,密教经典《时轮续》是现存记载完美四阶幻方及其用途年代最早的梵语文献。《时轮续》传入西藏后,西藏医学采纳了《时轮续》幻方,并绘制了图表,扩展了其用途、用法。通过围绕《时轮续》幻方,广泛征引相关梵藏文献,对《时轮续》四阶幻方的构造方法、产生年代、用途和不同的表现方式进行比较研究,同时就Kaksaputa所载幻方口诀与《易·说卦》相关论述的比较,得出了四阶幻方常数与先天卦象数的关系以及四阶幻方桶环模型。

用代数方法探讨四阶幻方的解

从杨辉四阶幻方入手,介绍了两种四阶幻方的构造方法,分别是通过对幻方进行元素互换的杨辉构造法和用元素构造矩阵的矩阵构造法。运用线性代数的方法探求四阶幻方的解,建立了四阶幻方的约束方程组,并通过初等变换得到了约束方程组等价的约束条件,利用这些约束条件并结合四阶幻方的性质得到了关于四阶幻方的等价关系。通过这种等价关系,对四阶幻方进行"行变换"与"列变换"举出了由已知幻方生成基本幻方和怎样构造四阶幻方的例子。阐述了幻方同构的概念和幻方总数与基本解的个数,并且指出对于一个已知幻方,共存在8个与其同构的幻方,其中包括已知幻方。

四阶幻方数字结构的形象图

幻方的特性是一个“对称平衡”的数阵.为了使数阵达到“对称平衡”,易于编制四阶幻方,将4×4的16个自然数分为二部分,一半是1—8八个较小数,另一半是9—16八个较大n的数,与较小数对应互补,对应互补和是n^2+1=17.因此只要掌握较小数的分布与八个较大数的对应互补关系,就能编制出所有的四阶幻方.

用数纲字母标记四阶幻方的研究

应用数纲字母,依序标记自然数,从而形象直观地研究四阶幻方的构造和演变规律。

四阶全对称幻方的构造及优化性

本文求得所有四阶全对称幻方的构造方法和它所具有的很多优化性。

四阶原幻方的构造

本文突破了仅用对换法构造原幻方的框框,并首次造出了所有的四阶原幻方。

一种4m阶幻方的构造方法

给出一个双偶数阶幻方的构造方法,并证明按照这种方法构造出的幻方具有四阶幻方类似的性质,同时这类幻方具有特别的对称性.

数海星空——奇妙的2^(n+1)阶完全幻方

在数学的星空中，闪烁着一颗美妙而灿烂的明星一幻方。它不仅给人们带来无穷的乐趣，并且在近代科学及开发智力方面有着重要作用。

幻方的实现方法研究

用3种不同的构造法可以生成奇阶、单偶阶和双偶阶三类不同的幻方。以全排列为基础,可以求出全部8个三阶幻方。为了求出全部四阶幻方,先找出1至16中和为34的四个数字组合,共有2064组。该文提出了两个求解全部四阶幻方的算法。算法一先确定一列,再确定4行。算法二先确定两列,再确定4行。四阶幻方共有7040个,其中880个无重复。算法二比算法一效率高得多,表明增加循环之前的检验之后,程序运行的速度大大提高了。

中国幻方研究动态

近十几年来,我国幻方研究工作十分活跃,人才辈出,并取得了许多领先世界的新成果.截止去年,我国共出版幻方书籍或专刊12本,随着这些书籍的流传和影响,我国幻方研究队伍逐渐壮大,曾与笔者联系的幻方爱好者就有数百名之多,他们寄来的幻方资料已达厚厚的一摞,很显然要把这些资料发表出去十分困难,但其中却有十分精彩的理论和思想.为了让这些成果发挥其应有的效应,不断促进幻方研究的深入发展,我们对各种资料作一简要的概括,并提供一些线索以及研究方向,供广大幻方研究者参考.

幻方中的美及其它

在中国相传“伏羲制卦,文王系辞”,这大约是公元前1182年前后的事了。在《周易·系辞》上说:“河出图,洛出书,圣人则之”。其中所讲的“河图”是指最简单的三阶幻方。如右图,图中配置1至9九个自然数,其中每行每列以及两条对角线上的数之和都等于15。 很久以后,在16世纪,德国著名画家丢勒发表了一幅铜版画,题为《忧郁》,雕刻年代为1514年,画中有一个四阶幻方（如图）。这个幻方的奇妙之处在于,它最下面的两个数15、14,连在一起恰好是绘画年代。 丢勒所设计的四阶幻方,具有一般幻方的性质。 横行、竖行和对角线上四个数相加都等于34、（34叫幻方常数）,此外还有一些更奇妙的性质。比如:

人人学会编幻方

回忆五、六十年以前就有同事问我:“为什么你的每个记事本上都画些同样的数字与标记?”其实那是一个幻方图(见下图),图中带数的图就是幻方,它是由自然数1-16布局而成的.它的每行、每列中各数之和都等于34.其它的图则表明分布在该幻方中不同位置的4个数之和都等于34.这个幻方所表现出的奇妙的性质,使我很感兴趣,所以每用完一个记事本总喜欢把它抄录下来.那时对幻方的制作一无所知,但对它的对角线上各数相加不能得34感到非常遗憾,后来才知道这只是一个半幻方.1975年起我订阅了《科学普及》杂志(科学画报前身),其中常有介绍幻方的文章,这样就逐步得以入门.

幻方之最

幻方的世界,如浩大的宇宙空间,是永远探索不尽的.我国幻方研究领域人才辈出、成果非凡,有不少成果可称为幻方之最,也有不少成果可称为世界第一.幻方工作者们开采出的一个个幻方花果园,表现出绚丽纷繁的美妙,有着无穷的趣味,让我们万分惊讶,感叹不已.一.

素数幻方中的奇迹

素数的分布规律及有关素数的猜想,至今还给人们留下了种种悬念.让我们惊讶的是,布局混乱的素数与具有对称美的幻方竟然也能联姻结亲,我们竟然可以仅用素数编造幻方,而且还可以在把握素数变化规律的基础上,创造一些出人意料的幻方奇迹.